UVOD V

VERJETNOST


Osnove verjetnostiPredstavitev snovi Osnovni pojmi Poskus in dogodek Kombinatorično štetje Ali že veš, kako se nariše kombinatorično drevo? Frekvenca dogodka... ...in relativna frekvenca Verjetnost Razlaga še nekaterih osnovnih pojmov verjetnosti Verjetnost in števila Izražanje verjetnosti s števili. Računanje verjetnostiKako izračunamo verjetnost nekega dogodka? Test Preveri se. Zagotovo si se nekaj novega naučil/a!

Avtorske pravice © 2003,
Tea Rajgelj

KOMBINATORIČNO ŠTETJE

Gotovo vas je že kdaj zanimalo kakšno podobno vprašanje, kot so naslednja:

Na tej strani boste spoznali zanimiv postopek, ki vas bo hitro popeljal do odgovorov na taka in podobna vprašanja. Ta postopek se imenuje risanje kombinatoričnega drevesa.

Risanje kombinatoričnega drevesa

Naloge te vrste rešujemo po korakih, s postopnim odločanjem. Pri tem moramo paziti, da je naša odločitev v vsakem naslednjem koraku neodvisna od izbire v prejšnjem koraku. Poglejmo si primer risanja takega drevesa:

VPRAŠANJE: Koliko različnih trimestnih številk lahko zapišemo s števkami 3, 6 in 9?

Ponavljanje številk ni dovoljeno!

REZULTAT - KOMBINATORIČNO DREVO:

Kako zgradimo tako drevo?

Diagram začnemo risati iz skupne točke, ki ji rečemo vozlišče. Naše možne odločitve pa prikažemo s črtami, ki jim rečemo veje ali povezave. Povezave se vedno končajo z vozlišči.

  1. Iz skupnega vozlišča najprej narišemo toliko vej, na kolikor načinov se lahko odločimo v prvem koraku. V našem primeru se odločamo med tremi števkami: 3, 6 in 9, zato smo iz skupnega vozlišča narisali najprej tri veje, ki se končajo z eno od števk 3, 6 in 9, ki predstavljajo vozlišče.

  2. Iz vsakega vozlišča vej, ki smo jih naredili v prvem koraku narišemo spet toliko vej, na kolikor načinov se lahko odločimo v drugem koraku. V našem primeru je to dvakrat - ker se števke ne smejo ponoviti, ostaneta samo dve števki.

  3. Iz vsakega vozlišča drugega odločanja pa zopet narišemo toliko vej, kolikorkrat se lahko odločamo v tem koraku. V našem primeru je samo ena možnost, torej narišemo eno vejo.

Na koncu drevesa dobimo toliko vozlišč, kolikor je vseh mogočih odločitev.
Dobljeni diagram imenujemo kombinatorično drevo. Na drevo nas namreč spominjajo veje, ki "rastejo" iz skupnega vozlišča in se v vsakem vozlišču razvejujejo dalje. Vozlišča zadnjih vej predstavljajo število vseh odločitev ali vseh izbir. Štetje, ki ga drevo omogoča, imenujemo kombinatorično štetje.

Nekaj nalog ->

! Število vseh možnih številk lahko ugotovimo tudi samo z računom, ki ga opremo na sklepanje. V prvem koraku smo izbirali med 3 možnostmi, v drugem med 2, v tretjem le še 1. Vsaka od teh izbir je neodvisna od prejšnje, zato je vseh možnih različnih izbir 3*2*1=6.

Kombinatorično drevo nam pokaže vse korake odločanja.

Kombinatorično štetje imenujemo preštevanje vseh mogočih zaporednih odločanj. Z njim ugotovimo število vseh možnih odločitev.