|
ARISTOTEL Uvod | Logika | Neskončnost Aristotel je bil Platonov učenec v Platonovi Akademiji celih 20 let, vendar se s Platonom v marsičem ni strinjal in tako je bilo tudi v matematiki. Aristotel ni bil iz Aten, temveč iz Makedonije, vendar je prišel v Platonovo Akademijo, ko je bilo Platonu že enainšestdeset let. Njegov oče je bil ugleden zdravnik, pa tudi naravoslovec znanstvenik. Že samo to ozadje marsikaj pove o Aristotelovem profilu. Še prav posebej se je namreč ukvarjal z živo naravo. Platon se je obračal vstran od čutnega sveta in nekako le bežno dojemal vse, kar vidimo okoli sebe. Aristotel pa je počel ravno nasprotno: spravil se je na vse štiri in opazoval ribe in žabe, vetrnice in mak in… Torej, Platon je uporabljal samo razum, Aristotel pa tudi čute. Ni bil samo zadnji veliki grški filozof, temveč je bil tudi prvi veliki biolog v Evropi. Ukvarjal se je z izredno veliko stvarmi, nekatere vede je formuliral povsem na novo in položil njihove temelje, ki so jih kasneje razvijali drugi znanstveniki. Ima izredno velik pomen v evropski kulturi, ravno on je ustvaril strokovni jezik, ki ga posamezne znanstvene panoge uporabljajo še danes. Bil je izredno velik sistematik, ukvarjal se je z biologijo, filozofijo, matematiko, logiko, astronomijo, etiko, politiko,… Imel je tudi lastno mnenje o ženskah in je menil, da ženski nekaj manjka. Menil je, da je ženska "nepopoln moški". Pri razmnoževanju je ženska trpna in sprejemajoča, moški pa dejaven in dajajoč. Zato je menil, naj otrok podeduje samo moške lastnosti. Prepričan je bil, da so vse otrokove lastnosti dokončno že v moževem semenu. Ženska je kakor prst, ki samo sprejme in donosi semenčico, medtem ko je moški sam sejalec. Torej, moški da formo, ženska pa sodeluje z materijo. Za Aristotela beseda "dva" ni bila samostalnik, ki bi se nanašal na abstrakten predmet neodvisno od fizičnih predmetov, ampak pridevnik, ki opisuje fizične predmete. (Primer: dva metrska lestev dejal je, da beseda dva, ki opisuje dolžino, je v lestvi.) Oblikoval je štiri osnovne tipe izjav oz. ugotovitev:
SILOGIZEM je seznam treh od teh naštetih izjav. Prvi dve izjavi v silogizmu sta predpostavki, ki dasta natanko eno skupno lastnost. Tretja izjava je sklep, ki mora vsebovati dve lastnosti (različni od skupne), vsako iz ene predpostavke in ju nato povezati v novo izjavo. Za primer poglejmo naslednje
silogizme: F e S: Noben Francoz ni povsem slab. P a L: Vsi psi
lajajo. S i M: Nekateri strahopetci so mladi. L a S: Vsi ljudje so
smrtni. Silogizem
je veljaven ali neveljaven. Njegova veljavnost je odvisna le od
zgradbe oziroma oblike izjav, ki ga sestavljajo. Aristotel je po Evklidu povzel in definiral deduktivno metodo, ki je vedno igrala veliko vlogo v matematiki. Ta metoda je sestavljena iz trditev in potem glede na te postavljamo nove izreke, ki jih dokazujemo. Vsaka izjava v dokazu mora biti opravičena ali z aksiomom ali z že prej dokazanim izrekom ali pa z načelom logike. Za Aristotela so matematični aksiomi in izreki resnice, ki nepreklicno veljajo. Aristotel je opravil tudi pionirsko delo v načinovni(modalni) logiki in v enem izmed svojih del objavil naslednji implikaciji:
Po Aristotelovem načrtu vsaka izjava pade natanko v eno od naslednjih treh kategorij, seveda pa je izbira kategorije odvisna tudi od predhodnih izjav in ugotovitev:
Aristotel ni verjel v neskončnost. Zavračal je neskončna zaporedja in premice v neskončnosti. Zavrgel je neskončnost! Zavračal je neskončno majhne količine. Geodetom je dovolil imeti poljubno dolge dele oz. segmente, nikakor pa ne črt, ki gredo v neskončnost. Aristotel je imel več razlogov za to, da je ovrgel neskončnost. 1. Neskončnost je prevelika, da bi bila "lepa". Biti lep, lepo bitje in vsaka celota-izmišljena iz delov, mora, ne samo pokazati določeno urejenost in urejenost po delih, ampak mora imeti tudi končno velikost. Lepota je nekaj, kar ima mero in urejenost in je zato nemogoča…stvaritev ogromnih dimenzij, recimo 1000 km dolga. V tem primeru ta predmet ne more biti viden naenkrat, zato je njegova edinost in celota opazovalcu nevidna. Privzemimo, da obstaja neskončna ravna črta
AB. Naj bo C točka, ki ne leži na AB in naj bo XCY druga neskončna ravna črta, ki se obrača s
C okoli njene osi in seka AB v poljubni točki P. 3. Aristotel je študiral tudi Paradoks Thompsonove svetilke. Predstavljamo si svetilko, ki sveti oz. se prižge ob času
t = 1 1/2^n , n-sod in ne sveti oz. se ugasne ob času
t = 1 1/2^n , n-lih. Če bi res znali razdeliti časovni interval na pravzaprav neskončno število trenutkov, potem je taka svetilka teoretično možna in teoretično bi lahko prižigala in ugašala resnično neskončnokrat v tem časovnem intervalu od t=0 do t=1. Kakorkoli, ob času t=1 svetilka ne bi bila niti prižgana niti ugasnjena, kajti neskončno ni niti sodo niti liho število. Čeprav je Aristotel zavračal neskončnost, pa se mu je kljub temu zdelo, da nekaj mora biti na tem, zato je postavil idejo o "potencialni neskončnosti". Predstavljajte si, da Aristotel uporablja ravnilo in šestilo in resnično konstruira podintervale danega intervala in sicer enega na minuto. Predstavljajte si, da bo nadaljeval to početje (konstrukcijo) za nedoločen čas, tako dolgo, da bo za katerokoli dano celo število n konstruiral več kot n podintervalov. Torej, po eni strani množica konstruiranih podintervalov ne bo nikoli neskončna, po drugi strani, pa tudi velikost teh podintervalov ne bo omejena z neko predpostavljeno fiksno številko. Torej ta množica je potencialno neskončna!
|
|||||