JAKOB BERNULLI je problem brahistohrone razširil z novimi vprašanji. Eno izmed njih je: če imamo navpično premico, katera izmed obrnjenih cikloid z isto začetno točko in isto horizontalno osnovnico je tista, po kateri bo težko telo najhitreje doseglo dano vertikalno premico? S tem vprašanjem je izzval svojega brata Jeana. Ta se je odzval na provokacijo in pokazal, da je iskana obrnjena cikloida tista, ki seka dano premico vodoravno.

Če problem posplošimo, obrnjena cikloida, ki omogoča najhitrejši spust k dani poševni premici, je tista, ki jo seka pod pravim kotom.

Posebna lastnost cikloide je, da je tautohrona (ugotovi že Huygens leta 1659). To pomeni, da telesa, ki padajo po obrnjeni cikloidi, dosežejo dno v istem času, ne glede na to, s katere višine so bila spuščena. Ta lastnost spominja na lastnost, ki jo je opazil Galileo: čas spusta je enak za različne tetive iste krožnice.

Jakob Bernulli je prvi matematično korektno rešil problem brahistohrone. Do rešitve je prišel s pomočjo raziskovanja izoperimetričnih problemov. Pri tem je postavil nekaj splošnih pravil za reševanje podobnih nalog. Ta pravila je še dodatno posplošil Euler, medtem ko je Lagrange prispeval analitično metodo (popolnoma osvobojeno upoštevanja diagramov). Zato imamo lahko postavitev problema brahistohrone za nedvoumen izvor variacijskega računa.

Rešitev problema brahistohrone je krivulja y, ki minimizira naslednji integral:

(upoštevamo, da je in ).

Ta problem pa znamo rešiti s pomočjo Euler-Lagrangeeve enačbe:

. Iskana krivulja je cikloida.

Rešitev problema brahistohrone je prinesla spremembe v številna področja.

Na primer v šport: Eden najprimernejših športov za preverjanje teorije cikloide je smučanje. Edini vzrok gibanja je težnost, koeficient trenja med smučmi in snegom pa je zelo majhen. Sprva niso verjeli, da najhitrejša pot med dvema količkoma ni daljica, temveč obrnjena cikloida. V resničnost te trditve so se prepričali šele, ko so jo preizkusili v praksi. Izkušenim smučarjem so izmerili čas vožnje, ko so se enkrat spustili po ravnem pobočju, drugič pa po pobočju oblikovanem v obrnjeno cikloido. Enega izmed takih eksperimentov so izvedli leta 1988 v Squaw Valley Ski Resort, rezultati so prikazani v sledeči tabeli.

 

Teoretično smo z rešitvijo problema brahistohrone rešili tudi problem transporta. Ta bi bil mnogo hitrejši, če bi kraje na Zemlji povezali s podzemnimi tuneli v obliki obrnjenih cikloid. Tak transport bi bil tudi cenejši, saj bi gibanje povzročala gravitacija. Izračunali so, da bi ob takšnem načinu potovanja za pot od New Yorka do Los Angelesa potrebovali le 28 minut. Vendar pa bi bil tunel v tem primeru izredno globok – njegova maksimalna globina bi znašala kar 1600 km. Za primerjavo: tunel v obliki ravne daljice med istima krajema bi imel najglobljo točko na 137 km.

Navidezno preprost problem brahistohrone se je izkazal za izredno zahtevno nalogo, katere reševanje je prispevalo k razvoju novih matematičnih in fizikalnih teorij.