|
|
REšITEV:
Označimo večjo krožnico s K1, njeno središče z O, manjši krog pa s K2. Narišimo manjšemu krogu tak premer s krajišči A in B, da A leži v O, B pa v H, kjer je H točka na večji krožnici K1(slika 1). Zakotalimo krog K2 po notranjem robu krožnice. Točko, v kateri se po kotaljenju krog K2 dotika krožnice K1, označimo s T, kot <TOH pa s φ. Manjša krožnica seka premer skozi O in H krožnice K1 v točki X, premer skozi O in K (kjer je K taka točka, da jeOK polmer, pravokoten na OH), pa v točki Y. Ker je <XOY pravokoten, je XY premer kroga K2. Ker je tudi OT premer K2, je presečišče XY in OT središ če S kroga K2. Ker je φ=XOT obodni kot manjše krožnice, meri pripadajoči središčni kot <XST=2φ in lok XT=2rφ. Kot φ pa predstavlja tudi središčni kot <HOT večje krožnice, zato je lok HT=Rφ =2rφ. Torej je lok |XT|=|HT| in točka B je s kotaljenjem prišla ravno v točko X, točka A pa zato v točko Y. Tako smo prišli do sklepa:
Naj se krog kotali po notranjem robu krožnice z dvojnim polmerom. Če krogu na začetku označimo nek polmer, potem krajišči A in B tega polmera pri kotaljenju drsita po fiksnih pravokotnih premerih večje krožnice.
Vrnimo se k Cardanovemu problemu: Imamo označeno točko M na krogu K2. Nari šimo trikotnik ΔABM(slika 2). Pri kotaljenju oglišči A in B drsita po pravoktnih premicah, zanima pa nas, kakšno krivuljo opiše točka M, torej tretje oglišče trikotnika. To pa je ravno že prej obravnavani Van Schootenov problem. Podobno kot prej označimo presečišči premice skozi M in S (S je središče kroga K2) s krožnico s P in Q. Točka M opiše pri kotaljenju elipso s polosema |PM| in |QM|, osi elipse pa imajo smeri OP in OQ (OP in OQ sta pravokotni, saj je PQ polmer kroga K2. Dokazali smo: