|
|
REŠITEV:
Poseben primer Van Schootenovega problema je Proclusov problem: Na togi premici so označene tri točke. Dve izmed njih drsita po pravokotnih premicah. Tretja točka opiše elipso s polosema BC in CA.
Posvetimo se Van Schootenovemu problemu: Imejmo premici, ki se sekata v točki S pod kotom δ in tog trikotnik Δ ABC. Oglišči A in B trikotnika naj drsita po krakih tega kota.
Narišimo trikotnik in krožnico, ki ima AB za tetivo, obodni koti nad to tetivo na nasprotnem bregu C pa merijo φ . Ker so natanko obodni koti nad AB enaki φ, naši premici pa se sekata pod kotom φ, poteka krožnica skozi S. Središče krožnice označimo z M in potegnimo premico skozi točki M in C. Presečišči te premice s krožnico označimo s P in Q.
Smer SP označimo z I, smer SQ pa z II. Predstavljajmo si še, da je trikotnik premaknjen, še vedno pa ležita točki A in B na istih premicah kot prej. Ker so natanko obodni koti nad AB enaki φ , poteka krožnica vedno skozi točko S. Loka AP in AQ menjavata mesto, vendar njuni dolžini ostajata nespremenjeni, saj sta odvisni le od trikotnika in krožnice in ne od premic. Zato bosta tudi obodna kota <ASP in <ASQ merila vedno isto (vsi obodni koti nad dano tetivo na enem bregu so enaki). Ker točka A vedno ostaja na premici, S pa je fiksna, bosta smeri I in II ostajali nespremenjeni. Ker je PQ polmer krožnice, sta smeri I in II pravokotni. Zato lahko gibanje oglišča C trikotnika Δ ABC opišemo kot gibanje označene točke C na premici skozi P in Q, ko P drsi po kraku I,Q pa po kraku II. Tako smo našo nalogo prevedli na že prej obravnavani Proculsov problem. Točka C torej opiše elipso s polosema PC in QC, osi elipse pa imajo smeri I in II. Tako smo dokazali:
|
|
