Enačba. Osnovna množica. Množica rešitev

Kratka ponovitev

Dogovorimo se:
- Vrednosti neznanke, pri katerih je enačba smiselna, sestavljajo osnovno množico U.
- Število ali števila, ki so rešitev dane enačbe in so hkrati tudi elementi osnovne množice, sestavljajo množico rešitev R.
 

1. primer:
Rešimo enačbo x + 5 = 3 najprej za U = , nato pa še za U = .

Rešitev enačbe x + 5 = 3 je celo število -2. Ker -2 ni naravno število, enačba v množici naravnih števil nima rešitve. Rešljiva pa je v osnovni množici celih števil. Njena rešitev je x = -2. Zapišimo jo še z množico R = {-2}.


2. primer:
S poskušanjem rešimo enačbo 2·x + 8 = 2 (x + 4) za  U = .

x 2·x + 8 = 2 (x + 4) p/n
1 2·1 + 8 = 2 (1 + 4) p
2 2·2 + 8 = 2 (2 + 4) p
3 2·3 + 8 = 2 (3 + 4) p
4 2·4 + 8 = 2 (4 + 4) p
5 2·5 + 8 = 2 (5 + 4) p

Enačba ima toliko rešitev, kolikor je števil v osnovni množici. Za vsako število iz osnovne množice, dobimo pravilno izjavo. Množica rešitve te enačbe je enaka osnovni množici R = U = .
Enačbe te vrste imenujemo identične enačbe ali identitete.


3. primer:
Linearne enačbe z eno neznanko rešimo z  ekvivalentnim preoblikovanjem. Vse člene z neznanko spretno prenesemo na eno stran enačaja, vse preostale pa na drugo.



 * Za vsako realno število a, b in c velja: če a = b, potem a + c = b + c
 ** Za vsako realno število a, b in c, c 0 velja: če a = b, potem a · c = b · c


4. primer:
Z zaporedno uporabo pravil o preoblikovanju enačb rešimo naslednjo enačbo:

 - 7 = 2       | + 7
 - 7 + 7 = 2 + 7
 = 2 + 7
 = 9            | · 7
 · 7 = 9 · 7
x  = 63        R = {63}


5. primer:
Rešimo kvadratno enačbo x2 = 36:

Njeni rešitvi sta x1 = 6 in x2 = -6. Torej R = {6, -6}.


6. primer:
Rešimo še kvadratno enačbo (x - 3)(x - 5) = 0. Rečemo ji tudi razcepna enačba.

Rešujemo jo s sklepanjem: x - 5 = 0 ↔ x = 5
                                         x - 3 = 0 ↔ x = 3
Produkt dveh izrazov je enak 0, če je vsaj eden od obeh faktorjev enak 0. Torej R = {5, 3}


 

Rešitev ali koren enačbe je vsako število iz osnovne množice U, pri katerem sta vrednosti izrazov na levi in desni strani enačbe enaki.
Vse rešitve enačbe sestavljajo množico rešitev R dane enačbe.

Ekvivalentno preoblikovanje enačb:
1. Na obeh straneh enačbe lahko prištejemo ali od obeh strani odštejemo isto število ali izraz.
2. Obe strani enačbe lahko pomnožimo ali delimo z istim, od nič različnim številom ali izrazom.

Glede na stopnjo neznanke delimo enačbe na:
linearne enačbe ali enačbe prve stopnje, kvadratne enačbe ali enačbe druge stopnje in enačbe višjih stopenj.

Glede na število neznank delimo enačbe na enačbe z eno, dvema ali več neznankami.

Enačbe so lahko:
- ekvivalentne: te imajo različno obliko, a enako množico rešitev
- identične: so enačbe, pri kateri je osnovna množica U hkrati množica njihovih rešitev, U = R
- rešljive: imajo največ toliko rešitev, kolikršna je stopnja neznanke
- nerešljive: te nimajo nobene rešitve



NAZAJ