Aritmetika za ni`je razrede gimnazije. Prvi del. 1896

Ob obeh geometrijah ima na naslovni strani letnico 1896 tudi ta aritmetika. Navedeno je, da je bil avtor tu kar preve~ natan~en pri razlagi vsake nove ra~unske operacije in pri uvajanju vsakega novega ra~unskega zakona; vemo pa, da je katerikoli ra~un, npr. ra~unanje tretjega korena {tevila, te`ko opisati z malo besedami. V vseh u~benikih tistega ~asa zasledimo gostobesednost, tudi pri Mo~niku in slovenskih prevodih njegovih del. Za u~enca, ni`jegimnazijca, pa je bil to kar trd oreh. Pa si oglejmo nekaj posebnosti:

V uvodu:
Stvari vsakdanjega mi{ljenja in tudi one na{ega mi{ljenja so ali iste vrste ali raznih vrst. Stvari iste vrste more{ zamenjati drugo z drugo ali popolnoma ali vsaj deloma; stvari raznih vrst se ne dajo tako zamenjevati. N.pr. ure in dnevi so iste vrste, ker more{ nadomestiti ure z dnevi. Leto in kilometer sta dve stvari raznih vrst.
[tevilo zaznamuje dolo~eno mno`ino stvarij iste vrste; vsako stvar posebej imenujemo jednoto ..., besedo
jednota = die Einheit, ~ez deset let `e pi{e enota.

Ni osamljen primer, da tako kot na str. 15 za ra~un 36540 - (8756 + ....) = ... celo spodaj navede, kako se govori, da se vsota v oklepaju najprej se{teje, nato pa od{teje... To ustno govorjenje ohrani tudi kasneje pri vseh ra~unskih operacijah, ki jih uvaja.

Po{tevanka = das Einmaleins ni dobeseden prevod iz nem{~ine, ampak izraz, ki se je udoma~il. (Morda je beseda po{tevanka nastala kot izpeljanka iz prevoda Bla`a Poto~nika Mo~nikove Napeljevanje iz glave po{tevati ..., 1846, tako je namre~ prevedel besedo Kopfrechnen. V naslednjem letu je popravil Napeljevanje v ra~unstvu ...)

Na str. 18 zasledimo pri ra~unu 36 * 8 = (30 + 6) * 8 = 240 + 48 = 288 naslednje: produkta 240 in 48 sta dela kone~nega produkta in se zato imenujeta delska produkta, danes bi bilo delna produkta. Kasneje na str. 23 to uporabi pri razlagi mno`enja mnogo{tevil~nega {tevila z drugim mnogo{tevil~nim {tevilom.

Ra~unski prikraj{ek = der Rechnungsvorteil v stavku:
Ako se nahajajo na konci jednega ali obeh faktorjev ni~le, prikraj{a{ si mno`enje, ...

Izvemo:
Deliti se pravi, iz produkta dveh faktorjev in iz jednega faktorja poiskati drugega.

Nato nameni ra~unanju z desetinskimi in mnogoimenskimi {tevili kar 20 strani. Vsako {tevilo, v katerem se nahajajo desetinke (o tem pravi: ~e jednoto 1 razdelimo na 10 enakih delov, imenujemo vsak del desetina) se imenuje desetinsko ali decimalno {tevilo. Da moremo pri pismenem predo~evanji razlo~evati desetinke razli~nih redov med seboj, odlo~ila so se desetinkam raznih redov tudi razna mesta. Tako pi{emo desetine na prvo mesto za jednicami, ... Da lo~imo celote od desetink, stavimo za jednicami na desni zgoraj piko, ki se imenuje desetinska ali decimalna pika.
[e:
Vsako {tevilo, katero ima jednote le jednega imena, imenuje se jednoimensko {tevilo, n.pr. 18 m, 2.36 hl, ... Vsako {tevilo pa, ki ima jednote raznih imen iste vrste, zove se mnogoimensko {tevilo, n.pr. 4 kg 25 dkg, 9 K 36 h, ...

Najve~jo skupno mero zasledimo v vseh starej{ih u~benikih, kasneje jo je nadomestil delitelj.
Nastanek ulomkov razlo`i natan~no, pojasni dele ulomka, dolo~i imena in na koncu pravi: vsaka nakazana delitev (vsak nakazan kvocient) v smislu pravega deljenja se da smatrati kot ulomek.
Na str. 68 je posebna tabelica za se{tevanje ulomkov, ki se o~itno ni obdr`ala. Nato je ra~unanju z ulomki posve~eno veliko strani.

V zadnjem delu knjige so: sklepni ra~un, obrestni ra~un, odstotni ali procentni ra~un - odtiso~ek = das Promile
razmerja, sorazmerja in njih uporaba. Naj povzamem ta del z nalogo in avtorjevo razlago:
Koliko srebra dobi{ iz 4 kg zlata, ako ste si ceni srebra in zlata kakor 2 : 31?
^im ve~ja je cena jedne kovine, tem manj se je dobi za dolo~eno mno`ino druge kovine. Cena dolo~ene kovine in mno`ina te kovine ste torej dve obratno sorazmerni koli~ini. Tako najdemo sorazmerje 4 : x = 2 : 31 in iz tega x = 62 kg srebra.

Na koncu po nalogah je {e dodatek za Mere, ute`i in novce.

Aritmetika za ni`je gimnazije. Drugi del. 1898

V tem delu veliko pi{e o raz{iritvi {tevil, njih imena pa se ne ujemajo povsem z dana{njimi.
[tevila, ki izra`ajo dolo~eno mno`ino enot, imenujejo se posebna {tevila . Nauk o ra~unanji s posebnimi {tevili se zove posebna aritmetika. S posebnimi {tevili smo ra~unali do sedaj.
Ako ho~emo zaznamovati neznano ali nedolo~eno mno`ino jednot, ne moremo rabiti posebnih {tevil ali znamenj; treba je nove vrste {tevil - to so ob~na {tevila. ... Najpripravnej{a znamenja za pismeno predo~evanje ob~nih {tevil so male ~rke latinske abecede. Tako pomeni n.pr. ~rka a neko mno`ino jednot, ~rka b neko drugo mno`ino jednot i.t.d.
Kasneje uvede cela {tevila, ki pa jih poimenuje: pozitivna in negativna {tevila imajo skupno ime relativna ali algebrajska (?) {tevila. [tevila, ki nimajo nobenega predznaka, zovejo se absolutna. Nato vse skupaj zdru`i: Algebrajski {tevili (-5) + (+5) se{teje{, ako {teje{ v podalj{eni {tevilni vrsti od {tevila -5 za pet jednot v pozitivno mer, istotako ravna{ tudi z algebrajskima [teviloma -5a in +5a.
Vse ra~unske zakone ponovi in pride do mno`enja in potenciranja, kjer zasledimo:
~initelj = der Factor, kasneje tudi uporablja kar faktor,
vzmno` = die Potenz,
kvadrovati = quadrieren, v stavku: Kako kvadruje{ produkte, potence, ulomke, mnogo~lenik, mnogo{tevil~no celo {tevilo.
Vso str. 27 porabi, da razlo`i, kako se kvadruje dekadi~na {tevila po pravilu
(a+b)(a+b) = aa + (2a + b)b, ako pa se nahaja v dekadi~nem {tevilu kaka ni~la, jo presko~i med kvadrovanjem, naslednjo sestavino pa pomakne{ za tri mesta proti desni.

Pri korenjenju so izrazi, ki jih poznamo danes: Ako razstavimo dolo~eno {tevilo na dva jednaka faktorja ter povemo jednega izmed faktorjev, pravimo, da i{~emo {tevilu kvadratni koren, kvadratni koren dekadi~nega {tevila pa je spet razlo`en na dveh straneh. Opozori pa na: Vsako celo ali desetinsko {tevilo, katerega vrednost moremo le pribli`no povedati ali dolo~iti, imenuje se nepopolno {tevilo in na{teje nekaj primerov: 2/3,.. Od tu dalje kar nekaj listov posveti ra~unanju z nepopolnimi {tevili in popravki.

Tretjo vzmno` razlo`i pri potencah, binomu, dvo{tevil~nem in mnogo{tevil~nem celem {tevilu, enako ponovi pri tretjem korenu.

Pri jedna~bah je vse, kar mora biti, le pri ~rkinih jedna~bah ne opozori, da je izraz, s katerim mno`imo ena~bo, lahko kdaj enak ni~:
Prestavi ~lene tako, da se nahajajo ~leni z neznanko v jednem, znana {tevila pa v drugem jedna~binem delu. Oprosti neznanko koeficienta ter izra~unaj njeno vrednost v prvi potenci, ako je treba.
Pri re{evanju jedna~b z dvema neznankama navaja ob strani:
iztrebiti = eliminieren, v stavku: more{ iz dolo~enih jedna~b iztrebiti jedno neznanko.

Knjigo kon~a z uporabnimi nalogami:
jedna~bo stvoriti, stvarjati = eine Gleichung ansetzen,
z vsemi tipi nalog te vrste, ki jih tudi zelo natan~no razlo`i:
razmere med {tevili, obrestni in odstotni ra~un (obresti, odstotek, menica, ...), delitev po dolo~enih pogojih (zmesni ra~un - zlitine, kr~mar, delitev denarja med vdovo in otroke), naloge o premikanji (popotnik, kurir), geometrijske naloge, raznovrstne naloge (o~e, sin in pred koliko leti, v neki dru`bi je dvakrat toliko gospodov kot gospa, vodnjak in cevi) in potem vse {e enkrat pri nalogah z uporabo jedna~b z dvema in tremi neznankami.

Aritmetika in algebra za srednje in vi{je gimnazijske razrede, 1. del. 1909

V tem u~beniku je ista snov kot v u~beniku Aritmetika za ni`je gimnazije, drugi del, ki je iz{el leta 1898. Avtor skraj{a malce predolgo razlago in vse postavi na zahtevnej{i nivo, kot pove sam naslov. Velik del je ponovno namenjen raz{iritvi {tevil, kar se kot rde~a nit vle~e skozi ves u~benik. Oblikovno je zapis zelo lep in pregleden. V kazalu je pomotoma izpu{~ena navedba poglavja "Ra~unski na~ini tretje stopnje" oziroma razdelki od str. 121 do str. 153, saj knjiga vsebuje te strani in v naslednjem letu je to `e popravljeno. Izka`e se, da tudi naslov ni ~isto pravi, saj v u~beniku ni snovi za vi{je razrede, ampak samo za srednje. O~itno se je pri izdaji te knjige nekaj dogajalo, ~e ni~ drugega, avtor je bil `e zelo bolan.
Zanimiv je uvod, kjer govori o matemati~nih resnicah. Ko uvede algebrajska {tevila, jih {e vedno ena~i z relativnimi {tevili, misli pa na dana{nja "cela {tevila". Za predstavitev uvede podalj{ano {tevilno vrsto ({tevilsko premico). Novo pa je se{tevanje in od{tevanje ena~b in neena~b; kasneje tudi mno`enje in deljenje, pri ~emer ne omenja, da bi bila katera od strani ena~b oz. neena~b lahko tudi ni~. Ko govori o celih {tevilih in njihovih lastnostih, v bistvu misli na naravna {tevila. Pri ulomkih imamo spet izraz obli~ne izpremembe ulomkov = Formveränderung der Brüche, t.j. raz{irjanje oz. kraj{anje ulomkov. Zanimiva sta njegova dokaza na str. 61 za trditvi: Ulomkova vrednost je 0, ako je {tevec 0, ali pa je imenovalec neizre~no velik in {e: Ulomkova vrednost je neizre~no velika, ~e je {tevec neizre~no velik, ali pa imenovalec enak 0 (bolje da teh dokazov kak zadrt matematik ne vidi). Neopore~no pa uvede povraten ali periodi~en ulomek, pri ~emer naredi {e lo~itev na ~isto periodi~en decimalni ulomek in ne~isto periodi~en decimalni ulomek; vrsta ponavljajo~ih se {tevilk se zove povra~aj ali perioda. Pri ra~unanju z nepopolnimi {tevili najprej {e enkat navede: Dekadi~no {tevilo se imenuje popolno, ~e so znane vse njegove {tevilke, in se imenuje nepopolno, ~e so od dolo~enega mesta naprej neznane vse naslednje {tevilke ali pa so se izpustile iz kateregakoli razloga. Ve~je lo~itve ne naredi.
Novo je poglavje o sorazmerjih, uvede ~etrto geometrijsko sorazmernico, srednjo geometrijsko sorazmernico in snov utrdi z nalogami iz premega in obratnega sorazmerja.
Pri Ena~bah prve stopnje hitro in sistemati~no ponovi razre{evanje in kon~a s sistemom treh ena~b s tremi neznankami.
Preide na koordinatni sistem, imenuje ga pravokotno soredje, z odse~ni~no ali abcisno osjo in redni~no ali ordinatno osjo, ob strani navede
sorednici = die Koordinaten, potem besede:
stalnica = die Konstante,
premenljivka = die Variable
in izraza, ki ju uporabljamo {e vedno za obliko funkcije:
razvita in nerazvita funkcija = explizite und implizite Funktion.

Pri vzmno`evanju ponovi potence in doda ra~unske zakone z veliko re{enimi primeri, vendar: Po prvotnem pojasnilu o potencah nimajo izrazi a<sup>1</sup> , a<sup>0</sup> in a<sup>-x</sup> nobenega pravega pomena; zakaj {tevilo a enkrat, oziroma ni~krat ali minus x-krat postaviti kot faktor, je brez smisla. Vrednosti le-teh ne definira, ampak izra~una s primeri, v katerih uporabi deljenje potenc z ustreznimi eksponenti. Ne izpusti kvadrata in kuba dekadi~nega {tevila, mimogrede opravi z eksponentnimi ena~bami in preide na korenjenje, kjer je dosleden pri lihem korenu iz pozitivnega in negativnega radikanda, za sodi koren iz pozitivnega radikanda pa pravi: Sodi koren iz pozitivnega radikanda utegne biti pozitiven ali negativen, kar je tudi pravilno. Na zelo kompliciran na~in pride do nerazlo`nega {tevila = irrationale Zahl, ki mu tudi pravi iracijonalno {tevilo; v nasprotju s celimi in ulomljenimi {tevili, ki se zovejo razlo`na ali racijonalna {tevila. Nato se spoprime s ~tevili, ki se zovejo umi{ljena ali imaginarna {tevila, ker nimajo stvarne podlage. Zato moremo sode korene iz negativnih {tevil smatrati za neko novo vrsto {tevil. Cela, ulomljena in iracijonalna {tevila pa se imenujejo stvarna ali realna {tevila. Vsota iz realnega in imaginarnega {tevila se imenuje skupno ali kompleksno {tevilo. Da pa stoji vrsta imaginarnih {tevil pravokotno na vrsto realnih {tevil, se izve iz ena~be i² = -1, iz katere sledi sorazmerje (+1) : i = i : (-1), imaginarna enota je torej tretja geometrijska sorazmernica med pozitivno in negativno realno enoto in ... To nari{e po vi{inskem izreku, i je pravokoten na (-1) in (+1). Tako je pri{el do upodobitve kompleksnih [tevil v ravnino.

Aritmetika in algebra za ~etrti in peti gimnazijski razred. 1910

Knjiga je popolna kopija Aritmetike in algebre iz leta 1909, le da ima ta `e popolno kazalo. Dovoljenje za izid je dobila od ministrstva dober mesec po avtorjevi smrti.

Bl. Matekova Aritmetika za ni`jo stopnjo srednjih {ol. Po novih u~nih na~rtih priredil Anton Peterlin. 1910

Knjiga je povzetek obeh aritmetik iz let 1896 in 1898, vendar s korenitimi spremembami na bolj{e, spodrsljaji so odpravljeni, skratka, nova priredba je mnogo bolj{a kot prva izdaja. Minilo je 12 let in avtor si je pridobil veliko izku{enj pri pisanju u~benikov.
Vsak nov razdelek za~ne s tipi~no nalogo. Ni ve~ strani samega teksta, ra~unski postopki so opisani skraj{ano, vendar razumljivo, pomembne stvari so poudarjene z debelim tiskom, veliko je nalog. Re{evanje ena~b je le be`no omenjeno, to poglavje je prestavljeno v u~benik za vi{ji letnik. Ob strani so {e vedno va`ni izrazi navedeni slovensko in nem{ko. Ni razvidno, kak{en dele` ima soavtor Peterlin, sode~ po pripisu na naslovni strani je le premetal poglavja glede na novi u~ni na~rt. Morda je on dodal ve~ slik, da je u~benik prijetnej{i na oko: ulomke na enotski daljici; ponazoritev {tevilske premice kot prikaz {tevil, kot pomo~ pri se{tevanju in od{tevanju; ponazoritev mno`enja polinoma z monomom, binomom, kvadrat binoma na pravokotniku; ponazoritev kuba binoma na kocki. Knjiga bi bila {e danes aktualna (do`ivela je {e dva ponatisa v letih 1919 in 1921), predvsem z bogato zbirko nalog, ki pa je tudi tu kot pri vseh prej{njih brez re{itev. V njej so navedene vse ra~unske operacije vklju~no z decimalnimi {tevili in z vsemi posebnostmi, kot so okraj{ano se{tevanje, od{tevanje, mno`enje, deljenje z nepopolnimi {tevili.
Mestno vrednost {tevila utrjuje z nalogami, kot je tale primer: 4T 3D 7E, poglavje Avstro-ogerski novci, mere in ute`i, ki je bilo prej na koncu kot dodatek, je tu na prvih straneh, saj potem mere in ute`i s pridom uporabi pri ra~unanju z mnogoimenskimi {tevili. Ob~na {tevila poimenuje tudi tu relativna ali algebrajska {tevila, pri ~emer misli na npr. +7ab, -12c (danes pravimo, da so algebrai~na {tevila koreni polinoma s celimi koeficienti!).

Aritmetika in algebra za {esti, sedmi in osmi gimnazijski razred. Izpopolnil Jakob Zupan~i~. 1910

Tu si Matek ni ve~ podoben, hiti skozi snov kot pri nobenem prej{njih u~benikov in zgolj informativno posreduje logaritme, kvadratno funkcijo, diferencialni kvocient in integral.
Ko logaritmuje, pravi: Pri ra~unanju s posebnimi {tevili rabimo ve~inoma navadni, dekadi~ni ali Briggov logaritemski sestav, ki ima za podlogo {tevilo 10. Za vi{jo matematiko je posebno va`en naravni, hiperboli~ni ali Neperjev logaritemski sestav, ki mu je podlaga iracijonalno {tevilo 2.71828..., katero zaznamujemo s ~rko e.
Na robu napi{e
zna~ilka = die Charakteristik,
pridavek = die Mantisse; o~itno pa {e sam ne verjame svojim izpeljankam, ker v tekstu kar lepo uporablja karakteristiko in mantiso.
Pri kvadratni ena~bi ne navede niti enega enostavnega primera, ampak se loti kar ena~be s tretjimi koreni, jo uredi in na koncu res dobi kvadratno ena~bo, ki pa je niti ne re{i. Takoj nato doka`e zvezo med koreni in koeficienti kvadratne ena~be in `e je pri ena~bah vi{jih stopenj, kjer ena~bo x<sup>4</sup> + 16 = 0 ne re{uje z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata, ampak s kvadratnima korenoma {tevil i in -i. S kvadratno funkcijo, ki ji najprej izra~una teme, takoj re{i tri kar zelo te`ke ekstremalne probleme in pri njenem grafu vpelje tudi diferencialni kvocient. Diferencuje potence z negativnim eksponentom in {e nekaj funkcij v eksplicitni obliki, implicitni obliki, s posredno spremenljivko in spet re{i tri ekstremalne naloge. Pri integralu spet ob strani napi{e
integrovati = integrieren. Vse opravi na petih straneh, vklju~no z volumnom krogle.

Pri poglavju o postopicah (o zaporedjih) se hitrost rahlo zmanj{a. Ob strani vidimo
postopica = die Reihe oder Progression.
Vzame aritmeti~no in geometrijsko zaporedje, izpelje splo{ni ~len, vsoto in vsoto padajo~e brezkon~ne geometrijske postopice brez kakega posebnega razglabljanja. Obrestnoobrestni ra~un preide z nekaj primeri.

Pri sestavbah ali kombinacijah, kjer spet kombinuje, je vsaj pribli`no stari Matek. Zanimiv je tale stavek: Stvar ali znamenja, ki se kombinujejo, se zovejo prveki ali elementi, vsak spoj ve~ elementov pa se imenuje skupina ali kompleksija. Prveki se niso obnesli, tudi on razlaga kombinatoriko raje kar z elementi. Ob strani zapi{e
preme{~aj = die Permutation,
premena = die Variation in se potem preme{~aja in premene tudi dosledno dr`i.
Poglavje je lepo obdelano, kon~a se s kratkim pogledom v matemati~no verjetnost, ki pa jo je dodal (po Reisnerju iz Ljubljanskega Zvona 1910, na str. 444) Jakob Zupan~i~.
Na koncu je {e zanimiv zgodovinski dodatek, ki je gotovo {e Matkovo delo, saj nanj Matek opozarja v eni od geometrij, kjer je zgodovinski dodatek za pregled nastanka geometrije.

Aritmetika in algebra za vi{je razrede realk. Za realke priredil in izpopolnil Jakob Zupan~i~. 1910

Verjetno je ta u~benik nastal iz dveh prej omenjenih: Aritmetike in algebre za srednje in vi{je razrede iz leta 1909 in Aritmetike in algebre za {esti, sedmi in osmi gimnazijski razred, iz leta 1910 in da ni bilo obratno. Soavtor Zupan~i~ ju je le zlo`il in dodal (po Reisnerju iz Ljubljanskega Zvona 1910, na str. 444) {e dve ve~ji poglavji: Matemati~no verjetnost in Zavarovanje na `ivljenje in smrt in iz tega zadnjega naj bo tudi zadnja opomnja:
Zavarovalnica izpla~a navadno osebi, ki je do`ivela 90 let, `e celo zavarovalnino, ~etudi se je zavarovala samo na smrt in ne tudi na do`ivetje 90 let. Zato pa se tudi 4% tablica za zavarovanje na smrt pri 90. letu preneha.