Nazaj

Matematika je dolga leta veljala za kraljico znanosti. V začetku 19.stoletja pa je ob vseh političnih bojih nastopila revolucija tudi v matematiki. Preplavile so jo nove ideje. Dobila je mnoge abstraktne koncepte in ti so postali njena glavna vsebina. Klasično matematiko je zamenjala moderna. Pojavili so se strogo specializirani znanstveniki, ki jih je zanimala znanost sama po sebi. Cilj znanosti naj bi bilo čaščenje človeškega razuma in v tej luči je dobilo raziskovanje matematike in problemov v njej svoj smisel, četudi ti problemi niso sloneli na praktičnih primerih. In od takrat matematika nima več statusa kraljice znanosti: ima namreč kar svoje kraljestvo.

V tem kraljestvu nove, moderne matematike se je prvič pred približno 300 leti eksplicitno pojavil tudi abstraktni pojem funkcije, v implicitni obliki pa je bil navzoč med ljudmi že 4000 let. V resnici prav pojem funkcija loči moderno matematiko od klasične.

Čemu se funkcija v taki obliki ni pojavila že prej? Vsakokrat je primanjkovalo motivacije za definicijo takega abstraktnega pojma, poleg tega pa so do takrat poznali premalo simboličnega zapisovanja in algebre sploh, pa tudi pojem kontinuuma realnih števil še ni bil uveden. Ravno v letih od 1450 do 1650 pa so se zgodile številne novosti, ki so vplivale tudi na razvoj pojma funkcije. Pojem števila se je razširil na realna števila in do neke mere celo kompleksna števila. Viète in Descartes sta postavila osnove simbolične algebre, Kepler in Galilei sta se posvečala gibanju planetov, po de Fermatovi in Descartesovi zaslugi sta se zaročila algebra in geometrija. Pri slednjem je za funkcijo ključnega pomena uvedba spremenljivk in enačb, ki izražajo povezave med njimi.

V 17.stoletju so imele v matematiki osrednjo vlogo geometrijske krivulje, ploščine pod krivuljami, tangente na krivulje, ...Ukvarjali so se s krivuljami, njihovih enačb pa niso poznali. Leta 1692 je Leibniz, sicer eden največjih izumiteljev matematičnih simbolov, uvedel besedo funkcija za označitev geometrijskega objekta, ki je povezan s krivuljo. Tangenta je bila po njegovem funkcija krivulje.

Euler, matematična avtoriteta svojega časa, je funkcijo definiral tako:

        Če neke kvantitete zavise od drugih na tak način, da kakor hitro

     spremenimo druge, se ustrezno spremenijo tudi prve, potem prve

    imenujemo funkcije drugih kvantitet.

Dirichlet pa je zapisal definicijo funkcije, ki jo danes najdemo v naših učbenikih:

     y je funkcija spremenljivke x, definirane na intervalu [a,b], če vsaki

    vrednosti spremenljivke x na tem intervalu ustreza določena vrednost

    spremenljivke y.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) je že pri petnajstih začel univerzitetni študij in pri dvajsetih doktoriral. Čeprav svojega življenja ni posvetil izključno matematiki (bolj je bil aktiven politik), ga štejemo med drugim za izumitelja matematičnih simbolov +, *, =.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) je nemški matematik devetnajstega stoletja, ki je zapisal definicijo funkcije kot jo poznamo danes. Anekdota o njegovi raztresenosti pravi, da je ženinim staršem pozabil poslati sporočilo o rojstvu njunega prvega vnuka. Tast, ki je dobro poznal njegovo obsedenost z matematiko, se je pritožil, da bi mu lahko napisal vsaj 2+1=3.

Piere de Fermat (1601-1665) je bil po poklicu pravnik, ki se je z matematiko ukvarjal zgolj ljubiteljsko. S svojim prispevkom k teoriji števil si je upravičeno prislužil vzdevek »Princ amaterjev«.

Miha se igra z avtomobilčkom. Kako daleč se avtomobilček odpelje, je odvisno od tega, s kolikšno silo ga Miha porine.

Koliko bomo plačali na bencinski črpalki, je odvisno od količine natočenega goriva.

Kolikšen del torte bomo dobili na prijateljevem rojstnem dnevu, je odvisno od števila povabljenih gostov.

Po koliko metrih se avto pri zaviranju ustavi na suhi cesti, je odvisno od tega, pri kolikšni hitrosti je voznik začel zavirati.

Ploščina kvadrata je odvisna od dolžine njegove stranice.

Zgornjo funkcijo definiramo tako, da vsaki od igrač priredimo njeno ceno. Očitno je, da ima vsaka igrača samo eno ceno. Prav to pa mora veljati za naš predpis, če sploh hočemo, da je funkcija. Poseben primer funkcije je konstantna funkcija, kar bi v našem primeru pomenilo, da imajo vse igrače enako ceno.

Vsi zgornji primeri kažejo, da so ene količine odvisne od drugih, ki jih lahko spreminjamo. Če opisujemo, kako je ena količina y (dolžina poti avtomobilčka, znesek na črpalki, delež torte, zavorna pot, ploščine kvadrata) odvisna od druge količine x (sila potiska, količina goriva, število gostov, hitrost avtomobila, dolžina stranice kvadrata), rečemo količini x neodvisna spremenljivka, količini y pa odvisna spremenljivka. Ker je spremenljivka y odvisna od spremenljivke x, pravimo, da je y funkcija x, kar zapišemo y=f(x) (lahko tudi g(x), h(x),...). Te odvisnosti količin oz. funkcije niso vedno enake!

Funkcija je torej predpis, ki vsaki možni vrednosti neodvisne spremenljivke priredi natanko eno vrednost odvisne spremenljivke.

Če označimo funkcijo z f: A → B, pri čemer je A poljubna množica in B podmnožica realnih števil IR, potem lahko rečemo, da je naša funkcija realna funkcija.

Realno funkcijo iz A v B imamo lahko za nekakšen stroj, ki za vsak vhodni podatek   x iz A »izdela« kot izhodno vrednost natanko eno število y = f(x) iz B.

Množico vseh vrednosti, ki jih lahko zavzame neodvisna spremenljivka, imenujemo definicijsko območje funkcije (D_f), množico vseh vrednosti, ki jih pri tem zavzame odvisna spremenljivka, pa zaloga vrednosti funkcija (Z_f). Elementom definicijskega območja funkcije pravimo originali, elementom zaloge vrednosti pa slike originalov.

Primer definicijskega območja: Če vzamemo funkcijo f(x) = x ^–1 , je ta funkcija definirana za vsa realna števila, razen za število 0. To pomeni, da je naše definicijsko območje D_f = IR\{0}. Če hočemo dobiti definicijsko območje, si moramo zastaviti enostavno vprašanje: Za katera števila oz. vrednosti jaz lahko mojo funkcijo izračunam?

Primer zaloge vrednosti: Če je f funkcija, ki vsakemu učencu priredi oceno iz matematike v prejšnjem letu. Zaloga vrednosti funkcije f bo podmnožica množice {1,2,3,4,5}. To pomeni, katere vrednosti lahko zavzame moja funkcija. Ni nujno, da bodo zavzete vse vrednosti (mogoče pa nobeden ni imel matematike 1), zato moramo zalogo funkcije definirati kot podmnožico.

Odvisnosti, ki smo jih navedli zgoraj, lahko prikažemo na različne načine: 

Vzemimo enega od zgornjih primerov: Ploščina kvadrata v odvisnosti od dolžine stranice.

f(1) = 1

f(2) = 4

f(3) = 9

f(x) = x²