2. del, problem ploščine...

V tem delu pa se bomo lotili drugega problema, to je ploščina, ki je tudi botroval nastanku integralnega računa. Še enkrat se vrnimo skozi čas v stari vek in za trenutek še dlje. Spet nam bo geometrija v veliko pomoč pri razumevanju nadaljnih problemov in pojmov. Ta druga pot nas bo privedla do pojma  določenega integrala.

Že v antiki so se matematiki ukvarjali s pojmom ploščine. Največji problem so jim predstavljali krivočrtni liki. Ravno to, ploščino pod poljubno krivuljo pa nam podaja določeni integral.

Že stare kulture, babilonci, egipčani so znali izračunati ploščine enostavnim likom. To so bili trikotniki, pravokotniki, kvadrati in liki sestavljeni iz le-teh. Kaj pa ploščine krivočrtnih likov, teh se ne da prekriti s pravilnimi ravnočrtnimi liki.

Izračunajmo ploščino krogu!

V stari Grčiji so se začeli lotevati tega problema precej resno in natančno. Dela so se lotili tako, da so gledali na lik, kot da je sestavljen iz manjših delcev. Krog so na primer zapolnili s trikotniki. Vendar tako razmišljanje ni zadostovalo. Filozofske smeri so zahtevale trdne temelje in ne le približke. Matematika naj bi bila kar se da čista in dobro osnovana. Zaradi teh zahtev je prišlo do boljšega razvoja, ki je prinesel boljše rezultate.

Tako je Evdoks s Knida okoli leta 370 p.n.š. iznašel dokaz o izčrpavanju - ekshavsticijski dokaz, ki se glasi takole: Če od celote odvzamemo več kot polovico in od ostanka spet več kot polovico in tako naprej ... nam na koncu ostane količina, ki je neznatno majhna v primerjavi z osnovno količino. S tem dokazom je zasnoval temelje  današnjega integralnega računa.

Računanje ploščin krivočrtnih likov se je z Evdoksovim dokazom prevedlo v okvirje strogih metod. Iz Evklidovih elementov je razvidno, kako je to potekalo.

Atomistična metoda je odkrivala dejstva in ponujala ideje...

Dokaz o izčrpavanju pa je zagotavljal pravilnost...