Lotimo se prvega problema - kako obrniti odvajanje

Zametki odvajanja so se pojavili v geometriji, natančneje pri iskanju tangent na dano krivuljo. Kasneje pa sta Newton in Leibniz, neodvisno drug od drugega, izpopolnila teorijo odvodov in jo nadgradila.

Vsak od njiju je imel drugačen pogled na ta problem in vsak je vpeljal svoje oznake. Newtonov pogled je bil seveda bolj fizikalen. Iskal je naravne zakone in njihove posledice. zanj so se količine spreminjale skozi čas. Opisal jih je kot funkcije časa - fluenti. Odvod po času pa je bila hitrost spreminjanja te funkcije - fluksija. Odvod je označil s piko, kar še vedno radi uporabljajo fiziki.

x^˙

Leibniz je imel bolj matematičen pristop. Krivuljo je videl kot lomljeno črto, sestavljeno iz majhnih daljic. Zanj je bil odvod kvocient dveh neznatno majhnih količin - diferencialov.

dy/dx

Uveljavila pa se je še ena oznaka, to je Lagrangeva, odvod je označil s črtico.

x'

Ker že poznamo odvajanje, poznamo tudi geometrijski pomen odvodov.

Pa osvežimo naše znanje:

Newtonova razlaga

Leibnizeva razlaga

Naklonski kot sekante nam predstavlja   k = dy/dx = (f(x + h) - f(x)) / (x + h - x)

Leibniz je že dobil rezultat, po Newtonovi razlagi pa moramo še potisniti točko x + h k točki x. Torej manjšamo h, s tem sekanta postane tangenta in naklonski kot sekante postane naklonski kot tangente oziroma odvod.

Lotimo se še definicije integrala

F(x) := ∫ f(x) dx

Oznako je vpeljal Leibniz. ∫ kot  podaljšani S predstavlja besedo suma ali vsota. S tem se povzame pomen integriranja, ki dele združuje v celoto.

Poglejmo si, kako sta si odvajanje in integriranje nasprotna procesa.

F(x) = ∫ f(x) dx

F'(x) = (∫ f(x) dx)'

F'(x) = f(x)

Če pa pogledamo z Leibnizevega zornega kota, kjer je integriranje nasprotno diferenciiranju:

dF/dx = F'(x)

dF = F'(x) dx

∫dF = ∫F'(x) dx  ,   F'(x) = f(x)

∫dF = ∫f(x) dx

F(x) = ∫f(x) dx