Reševanje sistema linearnih enačb

Imamo sistem treh linearnih enačb s tremi neznankami

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3.

Hočemo pa vedeti vrednosti vsake neznanke posebej. Rešujemo lahko na več načinov: lahko bi iz prve enačbe izrazili eno neznanko s preostalima in jo vstavili v drugi dve enačbi, potem bi iz druge enačbe izrazili drugo neznanko in tako naprej. Seveda bi to zahtevalo veliko dela in zato tudi veliko možnosti za napako pri računanju. Zato bomo izbrali varnejši način reševanja. Sistem vstavimo v tabelo in sicer tako:

xyz1
a1b1c1d1
a2b2c2d2
a3b3c3d3

Ko predstavimo sistem na tak način, potem z lahkoto izračunamo vrednosti neznank le s tem da množimo posamezne vrstice z ustreznimi števili in jih med seboj seštevamo ali odštevamo ter se tako postopoma znebimo vseh neznank.

Prikazali ga bomo na primeru:
z + x + y = 6
2x - y + z = 6
2y + 2z + 3x - 14 = 0,

ki ga pregledneje zapišemo kot:

1x + 1y + 1z = 6
2x - 1y + 1z = 6
3x + 2y + 2z = 14

in takšnega prenesemo v tabelo

xyz1
1116
2-116
32214

Ker se želimo znebiti neznanke x, pomnožimo prvo vrstico s 6, drugo s 3 in tretjo z 2, tako da ima v vseh treh enačbah x enak koeficient. Tako dobimo

xyz1
66636
6-3318
64428

in sedaj pustimo prvo vrstico nedotaknjeno in od nje odštejemo drugo in tretjo ter ju vpišemo na isti mesti v tabelo. Dobimo

xyz1
66636
09318
0228

in takoj lahko prvo enačbo delimo s 6, ker je zaenkrat ne potrebujemo več, drugo pa s 3 in tretjo z 2, da ju dobimo okrajšani, ker bomo tako lažje računali naprej.

xyz1
1116
0316
0114

V naslednjem koraku se hočemo znebiti y, torej tretjo vrstico pomnožimo s 3, ker sta potem koeficienta pred y v zadnjih dveh enačbah enaka.

xyz1
1116
0316
03312

Sedaj odštejemo še tretjo enačbo od druge in dobimo

xyz1
1116
0316
00-2-6

Iz zadnje vrstice lahko preberemo, da je -2z = -6, torej z = 3, to vstavimo v drugo enačbo in dobimo 3y + 3 = 6, zato sledi, da y = 1. Končno vstavimo ti že znani vrednosti še v prvo enačbo, torej velja x + 1 + 3 = 6 in zato x = 2. Rešitve danega sistema so torej: x = 2, y = 1, z = 2.

Podoben primer je še

2(x - y) + z = 4
3(x - z) + y = 2
4(y - z) + x = -3,

ki izgleda preurejen tako

2x - 2y + 1z = 4
3x + 1y - 3z = 2
1x + 4y - 4z = -3,

v tabeli pa (zraven je že napisan faktor s katerim moramo množiti posamezno vrstico in kaj dobimo po množenju)

xyz1faktor pomnožimo

=>

 xyz1 odštejemo

=>

2-2143 6-6212
31-322 62-64
14-4-36 624-24-28

Odštejemo zadnji dve vrstici od prve in okrajšamo, kjer je potrebno

xyz1 okrajšamo

=>

xyz1faktor pomnožimo

=>

6-6312 2-214/
0-898 0-8985
0-302730 0-109104

ter spet množimo z napisanim faktorjem in odštejemo.

xyz1 odštejemo

=>

xyz1 dobimo

=>

2-214 2-214
0-404540 0-898
0-403640 0090

Iz zadnje vrstice dobimo z = 0, iz druge potem y = -1 in iz prve še x = 1.

Na podoben način lahko rešimo n enačb z n neznankami, kjer je n poljubno naravno število.

Tu je še nekaj primerov takšnih sistemov:

x + y = 5
z - y = 1
3x - z = 2

Rešitev


x + y + z + w = 10
w - z + y - x = 2
w - z - y + x = 0
w + z - y - x = 4

Rešitev


z - x - y = 2
2z - 3y - 2x= -2
5y - 2x - z = 1

Rešitev

Lucija.Filipcic@student.fmf.uni-lj.si

Fakulteta za matematiko in fiziko