UVOD

V ravnini poznamo več preslikav:
· translacijo
· zrcaljenje čez točko
 · zrcaljenje čez premico
· rotacijo

Mi si bomo ogledali inverzijo glede na krožnico in nekaj njenih lastnosti.

Uporabljali bomo naslednje oznake:
· daljica s krajišči A in B: [ AB]
· razdalja med točkama A in B: AB
· trikotnik z ogljišči A, B in C: ABC

Slike so interaktivne in uporabljajo program GEOMETRY, ki ga je napisal David E. Joyce z matematične univerze v Woercestru. 

POZOR
·Točke rdeče barve lahko  premikate s pritiskom na levo tipko miške.
·S pritiskom na tipko SPACE na tipkovnici vrnete sliko v prvotni položaj.
·S klikom leve tipke na miški nad sliko in pritiskom na tipko ENTER na tipkovnici
aktivirate sliko v novem oknu!


1. LASTNOSTI  INVERZIJE

V evklidski ravnini P naj bo dana točka O in krožnica K(O, r) s središčem v O in polmerom r. Ravnino dopolnimo z neskončno točko Oneskončno tako dobljeno ravnino imenujemo inverzivna ravnina W . Inverzija ravnine W glede na krožnico K je bijektivna preslikava

t : W   W ,

za katero velja:

Če je X P \{0}, je slika X' = t (X) točka na poltraku OX, za katero je

 

OX . OX = r2

Središče inverzije O pa se preslika v točko Oneskončno in obratno.

Točko X in njeno sliko X' imenujemo inverzni točki. Ko točka X opiše neko množico opiše X' inverzno množico.

LASTNOSTI:

  1. Iz definicije sledi, da točke X, X' = t (X) in X'' = t (X') ležijo na istem poltraku in zanje velja:

    2. OX . OX' = r2         OX' . OX'' = r2

    Dobimo:

    OX = OX''  in  X = X'.

    Torej je inverzija involucija.

  2. Za točke na krožnici inverzije K velja OX= r, zato je


    3. OX' = r     in    X = X'.

    Krožnica K je za transformacijo t po točkah negibna, torej so točke krožnice K same sebi inverzne.

  3. Za točke XÎ Int (K)\ {0} velja

OX < r,  zato je  OX' > r

Točka v notranjosti krožnice se preslika v točko v zunanjosti in obratno. Ko se točka

X približuje O se t (X) od O oddaljuje.

2. GEOMETRIJSKA KONSTRUKCIJA INVERZNE TOCKE

Inverzno točko dani točki glede na krožnicoinverzije lahko konstruiramo s šestilom in ravnilom. Najprej si oglejmo primer, ko točka X leži znotraj krožnice K in je različna od O (slika 1). Skozi X narišemo tetivo [ AB] pravokotno na poltrak OX, v krajiščih tetive pa tangenti na krožnico K. Tangenti sekata poltrak OX v točki 
X' = t (X).

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 1. X LEŽI ZUNAJ KROŽNICE K

 

Pokažimo, da je X' res inverzna točka. Trikotnika OXA in OAX' sta pravokotna in imata pri oglišču skupen kot, torej sta podobna. Zato velja

OX : r = r : OX

dobimo

OX . OX' = r2

Točka X naj sedaj leži zunaj krožnice K. Njeno inverzno točko X' bomo dobili z obratnim postopkom. Skozi točko X' narišemo tangenti na krožnico K in povežemo dotikališči. Presečišče tetive s poltrakom OX je točka X'.

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 2. KONSTRUKCIJA INVERZNE TOCKE

Kako narišemo tangenti na krožnico skozi točko X (slika 2)? Narišemo krožnico S skozi središče inverzije O in X s premerom OX. Vemo: Kot, ki ima vrh na krožnici, njegova kraka pa potekata skozi krajišče premera te krožnice, je pravi. Zato sta presečišči krožnic S in K iskani dotikališči tangent.

Za točke na krožnici inverzije smo že pokazali, da so negibne.

Preden si bomo ogledali inverzne množice premic in krožnic pokažimo

TRDITEV. Naj bosta A in B točki evklidske ravnine, taki, da točke O, A in B niso kolinearne. Naj bo A' = t (A) in B' = t (B). Potem sta si trikotnika OAB in OB’A’ podobna (slika 3).

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 3. PODOBNOST TRIKOTNIKOV


DOKAZ. Trikotnika OAB in OB’A’ imata pri oglišču O skupen kot. Velja

OA  . OA' = r2  =  OB . OB'

Od tod dobimo

OA : OB = OA’ : OB’

Trikotnika OAB in OB’A’ se ujemata v razmerju dveh stranic in kotu med njima, zato sta si podobna.

3. INVERZIJA PREMICE

Posebej si bomo ogledali kam se preslikajo premice, ki potekajo skozi središče inverzije, in premice, ki ne gredo skozi O.

Za prve velja

IZREK 1. Premica skozi središče inverzije je sebi inverzna.

DOKAZ. Naj bo p premica skozi O. Po definiciji inverzije je

t (p) p.

Inverzija je involucija, zato velja

p = t (t ( p )) t (p).

Dobimo

p= t ( p).

IZREK 2. Inverzna slika premice, ki ne poteka skozi središče inverzije, je krožnica skozi središče inverzije.

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 4. PREMICA NE POTEKA SKOZI SREDIŠČE INVERZIJE


DOKAZ. Naj bo K (O, r) krožnica inverzije in l premica, na kateri ne leži točka O (slika 4). Skozi O narišemo pravokotnico na l. Presečišča označimo z A in z A' inverzno točko. Naj bo XÎ l poljubna nadaljna točka ter X' njena inverzna slika. Trikotnika OAX in OX’A’ ustrezata pogojem prejšne trditve, zato velja:

OX’A’= OAX= / 2.

Iz geometrije vemo, da točka X' leži na krožnici L s premerom [ OA] . Torej je t (l) L. Pokazati moramo še, da je L t (l). Vzemimo poljubno točko Y {O} na L. Premica skozi Y in O seka premico l v natanko eni točki Z. Točka Z je inverzna slika točke Y zaradi involutornosti. Središče inverzije pa se preslika v neskončno točko.

V dokazu nismo nikjer upoštevali lego premice l glede na krožnico L. Torej je l lahko mimobežnica, tangenta ali sekanta, le da ne poteka skozi veliki O. Če je l tangenta na K, točki A in A' sovpadata in premer krožnice L je [ OA] . V primeru ko l seka K v točkah X in Y, pa je krožnica določena z O in negibnima točkama X in Y.


4. INVERZIJA KROŽNICE

Tudi obravnavanje krožnic bomo razdelili v dve skupini na krožnice ki gredo skozi središče inverzije in na take, ki ne potekajo skozi O.

IZREK 3. Krožnici skozi središče inverzije je inverzna premica, ki ne gre skozi središče inverzije.

DOKAZ. Inverzije je involucija, zato je izrek posledica izreka 2.

Za druge krožnice velja

IZREK 4. Inverzna slika krožnice ki ne vsebuje središča inverzije je krožnica, ki ne gre skozi središče inverzije.

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 5. PREMICA JE TANGENTA NA KROG


DOKAZ. Naj bo L krožnica ki ne vsebuje središča inverzije (slika 5). Skozi O in središče krožnice L narišemo premico l. Presečišče s krožnico L označimo z A in B, točki in pa naj bosta njuni inverzni sliki. Nadalje naj bo X  poljubna točka krožnice L različna od A  in B  in njena inverzna točka.. Po trditvi sta trikotnika OXA in OA’X’ ter OXB in OB’X’ podobna, zato velja

 

OA’X’= OXA in OB’X’= OXB

Sledi

A’X’B’= OB’X’ - OA’X’ = OXB - OXA = AXB= / 2

in leži na krožnici S skozi in s premerom A’B’. Torej leži na S.

"Slika NI interaktivna! Vključi javo!"

SLIKA 6. PODOBNOST TRIKOTNIKOV


[Začetek strani] [ Mateja Likar Fakulteta za Matematiko in fiziko] [Osnovna stran]