Linearne preslikave v ravnini

Nekaj pojasnil k sledečemu interaktivnemu oknu:

MODRA daljica na sliki predstavlja vektor x. Venomer se pojavlja kot daljica iz središča koordinatnega sistema do neke točke na enotski krožnici. Vektor x lahko spreminjamo enostavno s premikanjem miške medtem ko pritiskamo na njen gumb.

RDEČA daljica predstavlja sliko A x vektorja x po delovanju operatorja A nanj. Z drugimi besedami rdečo daljico dobimo, ko MODRO daljico pomnožimo z matriko A. Dolžina vektorja Ax se spreminja s spreminjanjem vektorja x.

RJAVA krožnica, ki je narisana v središču appleta predstavlja enotsko krožnico. Njeno sliko po delovanju matrike A nanjo lahko vidimo VIJOLIČNO če si izberemo opcijo Ustvari sliko enotske sfere . Prav tako pa lahko vidite ORANŽNE lastne vektorje z izbiro opcije Ustvari lastne vektorje. Koordinate enotskih lastnih vektorjev pa lahko odčitate tako, da le te pokrijete z modro daljico. Lastne vrednosti so izpisane v interaktivnem oknu za ČRNO kratico LV.

Nekaj matematičnih pojasnil k interaktivnem oknu:

• Lastni vektorji so taki neničelni vektorji, ki so vzporedni svojim slikam.
  

  Definicija: Neničelen vektor x je lasten vektor, če je A x = a x, kjer je a neko realno število, ki mu pravimo lastna vrednost matrike A.

  Ker so vsi skalarni večkratniki lastnih vektorjev spet lastni vektorji, se dogovorimo, da v bodoče pomeni lastni vektor normiran lastni vektor (to je lastni vektor z dolžino ena). Ena uporaba lastnih vrednosti in vektorjev matrike je ta, da nam, prve najprej povejo ali obstaja kaka premica, ki jo matrika (operator) preslika vase in če obstaja je ta določna z lastnim vektorjem. Takim premicam pravimo lastne premice. Seveda pa ni nujno, da ima matrika samo eno lastno premico. Lahko jih ima neskončno, dve ali nobeno. Med dve lastni premici štejemo tudi, ko imamo dejansko eno premico, vendar sta to dve sovpadajoči premici. Matrika nima nobene lastne premice (vektorja) natanko tedaj, ko nima (realnih) lastnih vrednosti. Neskončno pa tedaj in le tedaj, ko je matrika skalarna. Ker preslika vsaka linearna preslikava izhodišče koordinatnega sisitema vase je premica lastna kvečjemu takrat ko gre skozi izhodišče.

• Lastni vektorji so pravokotni (včasih rečemo tudi ortogonalni) tedaj (in le tedaj), ko je matrika A simetrična. Ta trditev sodi v formulacijo spektralnega izreka.
• Slika enotske krožnice po delovanju matrike A nanjo je elipsa, kar pomeni, da operator predstavljen z matriko A samo razteguje in rotira vse tocke v ravnini (matrika A je začetni primer iz interaktivnga okna, torej [[1,2],[2,1]]). V resnici je slika vsake krožnice neka omejena stožnica v ravnini, kar pomeni bodisi elipsa bodisi daljica.
• Matrika O je ortogonalna (primer take matrike je: [[0,-1], [1, 0]]) tedaj in le tedaj, ko preslika enotsko krožnico nase.

  Definicja: O je ortogonalna tedaj in le tedaj ko velja: | Ox | = | x | za vsak vektor x.

  Z drugimi besedami matrika je ortogonalna tedaj in le tedaj, ko ohranja razdalje, torej je slika vektorja enako dolga kot sam ("začetni", "vhodni") vektor. Zato take linearne preslikave, ki so dolo"cene z ortogonalnimi matrikami imenujemo tudi izometrije. Iskaže se, da take preslikave ohranjajo tudi kote med vektorji. Ortogonalne matrike so poseben primer normalnih matrik. Ortogonalna matrika zadošča namreč enačbi OO' = O'O = I. Ni se težko prepričati, da so lastne vrednosti takih matrik po absolutni vrednosti enake 1.

• Linearni preslikave, katerim pripadajo matrike oblike [[cos a, sin a], [-sin a, cos a]] (e.g. [[0,-1],[1, 0]]) dejansko zarotirajo vektorje.
Prepričaj se, da matrike teh oblik sodijo med ortogonalne. Edini tovrstni matriki, ki imata lastne premice sta matriki I in -I.
• Zaloga vrednosti poljubne neničelne matrike A z ničelno determinanto: det(A) = 0 (primer take matrike je [[2, 1], [1, 0.5]]), je premica, torej podprostor v ravnini katerega dimenzija je 1.

Zdaj, ko si predelal(a) vso snov preveri koliko si si zapomnil(a). Zapomi si! Skoraj vsako nalogo lahko rešiš s pomočjo zgornjega interaktivnega okna in javascript izdelkov s prejšnje strani! Upoštevaj še to, da je pri nekaterih vprašanjih potrebno dati več odgovorov! Pritisni START TESTA za tvoj preizkus znanja!

• Prva stran
• Test