Kadar pišemo o znanosti ali matematiki neke druge dobe, je skoraj nemogoče najti pravilno srednjo pot med dvema zmotnima skrajnostima. Po eni strani lahko zaradi nerazumevanja potreb in težav tistih dob podcenjujemo njihove dosežke, po drugi strani pa je pogosta napaka, da vidimo v njih zametke kasnejših odkritij, ki jih ljudje tistih časov niso mogli niti slutiti, razen če bi bili obdarjeni z nadčloveško bistroumnostjo ali jasnovidnostjo. Če v tem poglavju govorimo o domnevah, kako so matematiki-duhovniki v svetiščih prišli do svojih odkritij, je največ, kar lahko rečemo o mnogih izmed teh domnev, samo to, da so morda pravilne. Opravičujejo jih odkritja sama, ki so zadostna osnova, da lahko na njej utemeljujemo drobne informacije, ki so koristne ne glede na svojo zgodovinsko verodostojnost.
Dva tisoč let prej, kot si je rimska civilizacija - najbrutalnejša in najmanj ustvarjalna izmed vseh zgodnjih civilizacij - pridobila svojo moč, so jo svečeniški astronomi ob Nilu daleč presegali v umetnosti predstavljanja in uporabe števil, dosti večjih od rimskega števila M. Razen v primeru, ko je papirus pisarja Ahmesa (okrog 1600 pr. n. š.) samo ostanek zelo elementarnega učbenika iz tistega časa, nam dosegljivi dokumenti kažejo, da je računska umetnost v Egiptu zaostajala za ravnjo, ki so jo dosegli v Mezopotamiji že precej pred letom 2000 pr. n. š. To je zlasti očitno, če si dodobra ogledamo, kako amatersko so Egipčani ravnali z ulomki; razlogi za to nam še danes nikakor niso povsem jasni. Verjetno z namenom, da bi si skrajšali delo z računalom, so razbili ulomek, katerega števec je bil večji od 2, na ulomke, katerih števci so bili enaki 1 (ali 2), kot nam kažejo tile primeri:
149/308 = 1/4 + 1/7 + 1/11
13/45 = 2/9 + 1/18 + 1/90 ali 1/5 + 2/45 + 2/45
1/4
1/7
63/64
Stari Egipčani so ulomke, ki niso cela števila, zapisovali na prav poseben način.
Vedno so jih namreč skušali izraziti v obliki vsote ulomkov s števci 1, le izjemoma pa so uporabljali tudi ulomke:
a) V naslednjih identitetah je ulomek na levi strani enakosti zapisan na današnji način, na desni strani pa tako, kakor ga najdemo na egipčanskih papirusih. Preveri njihovo pravilnost.
c) Dokaži naslednja pravila, ki so jih Egipčani najverjetneje uporabljali pri zapisovanju ulomkov:
Takšno razbijanje ulomkov je kratkočasna vaja, vendar pa bo vsakdo, ki se ga poloti, podvomil, da je bilo to mojstrstvo mogoče, razen če so svečeniki - računarji delali s tabelami, vsebujočimi izkušnje mnogih generacij prednikov. Po drugi strani pa so Babilonci predali svojim grško govorečim naslednikom sistem, ki je imel znatne prednosti in ki je še ohranjen v naši razdelitvi ure ali stopinje na minute (pars minuta) in sekunde (pars secunda); ti imeni smo prevzeli prek latinščine. Ta sistem je bil v uporabi že v času akadijske nadvlade. Zato lahko sklepamo, da je to zapuščina sumerske kulture.
Vsaj pri svojem astronomskem delu so Babilonci že zgodaj stalno uporabljali bazo b=60; diakritični znaki, ki jih danes uporabljamo, če napišemo 54°30´25´´, bi opravili vse naloge, ki jih danes opravlja ničla, če ne bi bila za začetnika naloga, naj si zapomni tabele za seštevanje, odštevanje in množenje, pri takšni bazi prenaporna. V resnici je videti, da so kaldejski astronomi selevkidske dobe imeli nekak dogovor za označevanje praznega stolpca na računalu. Karkoli že - aleksandrijski astronomi, ki so uporabljali iste seksagezimalne ulomke (tj. ulomke, izražene kot 60-n, tako kot lahko danes izrazimo ulomke kot 10-n), so zaradi kombinacije obeh sistemov zašli v težave. Cela števila so namreč izražali z b=10.
Problemi na ostankih egipčanskih dokumentov (papirusov) iz časa od 2000 do 1500 pr. n. š. vsebujejo primere seštevanja preprostih aritmetičnih zaporedij, kamor spadajo seveda tudi trikotniška in kvadratna števila, čeprav niso omenjena kot taka. Navedeno je pravilo za vsoto preprostega geometrijskega zaporedja celih števil (npr. 1, 2, 4, 6, 8, 16 itd.), ne pa ulomkov (npr. 1, 1/2, 1/4, 1/8 itd.). Nekaj problemov ima tudi kvadratno rešitev. sicer pa ne najdemo nič drugega kot preprosto vrsto problemov, kakršne danes rešujemo z linearnimi enačbami, kot npr. 3x + 4 = 13.
Za ljudi dosti starejših generacij, kot je naša, je ta model utelešal tako princip praktičnega merjenja zemljišča kot tudi racionalno osnovo za olajšanje dela na računalu. Ponavljajoče se seštevanje pri množenju dveh števil namreč lahko nadomestimo z dosti krajšim procesom, če imamo pri roki tabelo kvadratov. Če sta obe števili sodi ali obe lihi. lahko operacijo zastavimo takole primer za (123) • (27):
Seštej: 27 + 123 = 150
Razpolovi vsoto: 1/2 • (150) = 75
Odštej: 123 - 75 = 48 in 75 - 27 = 48
(123) • (27) = (75 + 48) • (75 - 48) = 752 - 482
Če je eno število liho in eno sodo, vsebuje postopek še dodatno stopnjo:
(28) • (123) = 27 • (123) + 123 = 752 - 482 + 123
Enako bi se v zvezi s problemi trgovine tudi verbalno navodilo za reševanje tistega, kar danes imenujemo kvadratna enačba, naslanjalo na izraze dolžine in površine, ki jih uporabljamo v pravilih za razdeljevanje kvadratnega polja, v skladu s postopki, prikazanimi danes v tejle obliki:
(a+-b)2 = a2 + - 2ab + b2
Problemi na ostankih egipčanskih dokumentov (papirusov) iz časa od 2000 do 1500 pr. n. š. vsebujejo primere seštevanja preprostih aritmetičnih zaporedij, kamor spadajo seveda tudi trikotniška in kvadratna števila, čeprav niso omenjena kot taka. Navedeno je pravilo za vsoto preprostega geometrijskega zaporedja celih števil (npr. 1, 2, 4, 8, 16 itd.), ne pa ulomkov (npr. 1, 1/2, 1/4, 1/8 itd.). Nekaj problemov ima tudi kvadratno rešitev. Sicer pa ne najdemo nič drugega kot preprosto vrsto problemov, kakršne danes rešujemo z linearnimi enačbami, kot npr. 3x + 4 = 13.
Babilonska matematika je v tem času na neprimerno višji stopnji. Vsebuje verbalna navodila za reševanje (s tabelami) tistega, kar bi mi imenovali preprost sistem enačb z največ 10 neznankami in veliko primerov, ki vsebujejo preproste kvadratne enačbe. Našli so celo tablice s primeri verbalnih navodil za reševanje problemov, iz katerih izhajajo sistemi enačb, izrazljivi danes v obliki, kot je npr.:
x - y + xy = 33 in x + y = 8
Vendar pa bi bilo napačno sklepati, da so tempeljski matematiki prišli do rešitve, ki bi jo lahko imenovali splošno rešitev kvadratne enačbe. Da bi se vživeli v duh tiste dobe, bomo razlikovali pet tipov, ki naj jih ponazorijo naslednji primeri:
(1) x2 + 6 = 5x z dvema rešitvama (x=+3 ali +2); obe pozitivni;
(2) x2 + x = 6 z dvema rešitvama (x = -3 ali +2);ena pozitivna, ena negativna;
(3) x2 = x + 6 enako (x = +3 ali -2);
(4) x2 + 4x + 3 = 0 z dvema rešitvama (x = - 3 ali -1); obe negativni;
(5) x2+ 3x + 4 = 0 ni realne rešitve.
Če bi se problemov lotil kdor koli v tistem pradavnem času, bi bili problemi verjetno enako zapleteni. Dejstvo, da vsaj eno izročilo navaja za enačbo tipa (1) obe rešitvi, ne pomeni nujno, da je učitelj vedel, da je kvadrat produkt bodisi enakih negativnih faktorjev, bodisi dveh enakih pozitivnih faktorjev.
Med letom 2000 pr. n. št. in letom 1500 n. š. ni bilo pravzaprav nobenega znatnega napredka v obravnavnaju kubičnih enačb in ko se je v 16. stoletju našega štetja pojavila formalna rešitev, je bila v bistvu le ponovitev babilonskega postopka. Moderna rešitev je zelo zapletena in za praktične namene malo uporabna, ker nam graf daje dobro prvo aproksimacijo za realne korene, če ti obstajajo; nato pa se lahko z iterativnim postopkom približamo natančni rešitvi, kolikor je to potrebno. Ta postopek je v skladu z načinom, na katerega nam takšne probleme rešujejo elektronski možgani. Vendar pa je začetni korak moderne rešitve vreden komentarja, ker nam odkriva koristno navodilo za grafični postopek.
Če do sedaj dostopni dokumenti potrjujejo stališče, da je računsko znanje v svetiščih prve trgovske civilizacije znatno prekašalo znanje v svetih observatorjih ob Nilu, pa je relativno važnost trajnih prispevkov Egipta in Mezopotamije k razvoju merjenja teže oceniti. Na najpreprostejši stopnji so čuvarji egipčanskega koledarja že verjetno okrog leta 4241 pr. n. š. določili, da je dolžina leta 365 1/2 dni. Kot njihovi kitajski sodobniki in kot majevska duhovščina (dokler Maji niso začeli svojemu letu, ki je imelo 18 mesecev po 20 dni, prištevati še petdnevnega meseca) so se tudi Babilonci trmasto oklepali 360 - dnevnega leta, ki je nekakšen kompromis med sončnim in luninim letom; da bi prazniki ostali v koraku z letnimi časi, so po potrebi vstavljali prestopna leta.
