Apolonijeva krožnica

Katere podatke potrebujemo za konstrukcijo Apolonijeve krožnice?

Dani sta točki A in B. M_k := {T; AT : BT=k}, kjer je k pozitivno realno število, manjše ali enako 1.

Opomba:

Daljice označene z modro barvo so enake dolžine, daljici označeni z rdečo (in oranžno) sta vzporedni, rdeče in oranžne so medseboj pravokotne.

Trditev:

a) Položaj točk M in N, na nosilki daljice AB, je enolično določen s k.

b) M_k je Apolonijeva krožnica točk A,B za k.

Dokaz:

Ker T pripada mnozici M_k, velja: AM : BM = k. AN : BN = AT: QT = AT : BT = k. Sledi, da je kot MTN pravi kot. Torej je množica M_k podmnozica Apolonijeve mnozice.

Poglejmo se v obratno smer. Naj bo T tocka, ki lezi na Apolonijevi krožnici. Potem velja:

TA : TP = MA : MB = k (*)

TA : TQ = AN : BN = k (**)

Če združimo (*) in (**), dobimo: TA : TP = TA : TQ iz česar sledi, da je TP = TQ. Posledično velja, da je kot PBQ pravi kot.

Iz dejstva, da je TB = TP = TQ, sledi naslednja enakost: TA : TB = TA : TP = k. Iz slednjega lahko sklepamo, da točka T pripada množici M_k. Apolonijeva kroznica je torej podmnozica mnozice M_k.

Zaključek: M_k je Apolonijeva krožnica točk A,B za k.

Kako si pomagati z Apolonijevo krožnico pri konstrukciji trikotnika?

Konkreten primer:

Podatki trikotnika ABC s stranicammi a,b,c: a, težiščnica na a in b:c

Korak 1:Narišemo stranico a=BC.

Korak 2:Narišemo krožnici K₁(B,w*c) in K₂(C,w*b) (K₁ in K₂ svetlo sivi), kjer je w pozitivno število, ki nam zagotavlja trikotniško neenakost: w*b + w*c > a. Presek krožnic (dobimo dve možnosti, vendar je zaradi simetrije dovolj narisati samo eno) označimo s točko T.

Korak 3:Točko T povezemo z ogliščema B in C. Naredimo simetralo kota BTC. Tam kjer simetrala (rdeča črta) seka stranico a, dobimo točko M.

Korak 4:Sedaj potegnemo pravokotnico (rumena črta) na daljico TM iz točke T in tam kjer pravokotnica seka nosilko daljice BC, dobimo točko N.

Korak 5:Naredimo simetralo stranice MN zato, da dobimo središče S, Apolonijeve krožnice K točk B,C za k (K oranžne barve), kjer je seveda k = b : c.

Korak 6:Naredimo simetralo stranice a. Tam kjer simetrala seka stranico je točka D. Narišemo krožnico K₃(D,dolžina težiščnice na a) (K₃ temno sive barve). Presek krožnic K₃ in K je ravno iskano oglišče A.