Naj pravokotnice iz točke P na nosilke stranic trikotnika ABC sekajo te nosilke v točkah A1,B1,C1. Potem so A1, B1 in C1 kolinearne natanko tedaj, kadar P leži na očrtani krožnici trikotnika ABC.
Premica skozi A1,B1,C1 je Simsonova premica.
Naj bodo A1,B1 in C1 kolinearne. Na sliki imamo 3 tetivne štirikotnike: AC1B1P, B1CA1P in C1BA1P. Zaradi kolinearnosti točk A1,B1 in C1 sledi, da ∠AB1C1 = ∠A1B1C . Ker je štirikotnik AC1B1P tetivni, vemo da velja ∠AB1C1 = ∠APC1. Ker je tetivni tudi štirikotnik B1CA1P, velja ∠A1B1C = ∠A1PC.
Iz tretjega tetivnega štirikotnika C1BA1P opazimo: ∠A1PC1 = 180°-∠ABC. Sledi: ∠APC = ∠A1PC1 = 180°-∠ABC. Oziroma drugače zapisano: ∠APC + ∠ABC = 180°.
Torej je štirikotnik ABCP tetivni, saj za tetivne štirikotnike velja, da je vsota nasprotnih kotov 180°. Sledi, da P leži na očrtani krožnici trikotnika ABC.
Dokaz velja tudi v obratno smer.
Naj točka P leži tako, da ena od pravokotnic na nosilke poteka skozi eno izmed oglišč trikotnika ABC. Potem je Simsonova premica vzporedna tangenti na očrtano krožnico v istem oglišču.
Za primer na skici vzemimo, da ena pravokotnica na nosilko poteka skozi oglišče C.
Avtor: Ana Uršič, junij 2010.