Naj bo v trikotniku ABC točka V višinska točka, točke A1, B1, C1 razpolovišča stranic, točke A2, B2 in C2 nožišča višin trikotnika ter točke A3, B3 in C3 razpolovišča daljic AV, BV in CV. Vse te točke ležijo na skupni krožnici - krožici devetih točk oziroma Feuerbachovi krožnici.
Štirikotnik A1B1A3B3 je pravokotnik, saj velja: daljica A1B1 je vzporedna z daljico B3A3 (srednjici trikotnikov ABC in ABV) in daljica A1B3 je srednjica trikotnika BCV. Sledi, da je daljica A1B3 vzporedna z daljico CV, kar pomeni, da je daljica A1B3 pravokotna na daljico AB oziroma, da sta daljici A1B3 in A3B3 pravokotni med seboj.
Podobno pokažemo, da sta štirikotnika B1C1B3C3 ter C1A1C3A3 pravokotnika. Ker imata poljubna dva pravokotnika izmed treh naštetih skupno diagonalo, so včrtani neki skupni krožnici.
Potrebno je še pokazati, da so tudi točke A2, B2, C2 na tej krožnici. Ker je A1A3 diagonala včrtanega pravokotnika krožnici, je A1A3 premer te krožnice. Ker je daljica A3A2 pravokotna na daljico A2A1, je točka A2 na krožnici (Talesov izrek). Analogno velja za B2 in C2.
Čeprav pripišemo odkritje te krožnice Karlu Wilhelmu Feuerbachu, jo on ni v celoti odkrili. Odkril je le šest točk, in sicer razpolovišča trikotnika in nožišča višin (na sliki so to točke A1, B1, C1, A2, B2 in C2). (Malo pred njim sta Charles Brianchon in Jean-Victor Poncelet izjavila in dokazala enak izrek.) Ampak kmalu po Feuerbach je matematik Olry Terquem sam dokazal obstoj krožnice. Bil je prvi, ki je prepoznal dodaten pomen točk A3, B3 in C3. Tako je Terquem prvi uporabil ime krožnica devetih točk.
Leonhard Euler je leta 1765 pokazal, da so v poljubnem trikotniku višinska točka, središče očrtane krožnice, težišče in središče kroga devetih točk kolinearne. V enakostraničnem trikotniku točke sovpadajo. Središče kroga devetih točk leži na Eulerjevi premici med višinsko točko in središčem očrtane krožnice, razdalja od težišča do središča očrtane krožnice pa je enaka polovici razdalje od težišča do višinske točke.
Avtor: Klara Pugelj, oktober 2009.