SINUSNI IZREK
SINUSNI IZREK:
Razmerje dolžin stranic trikotnika je enako razmerju sinusov kota, ki ležijo tem stranicam nasproti:
DOKAZ:
V trikotniku ABC je kot ACB obodni kot nad lokom AB, kot ASB pa pripadajoči središčni kot nad istim
lokom (glej uvodno poglavje o krogu) in trikotnik ABS enakokrak. Zato je:
Uporaba:
Za razreševanje trikotnika:
- če so znani stranica in dva notranja kota (obstaja ena rešitev);
- če so znani dve stranici in en kot:
- kot nasproti večji stranici (obstaja ena rešitev);
- kot nasproti manjši stranici (obstajajo:
- dve rešitvi;
- nobene rešitve;
- ena rešitev, trikotnik je pravokoten);
- če je znan radij očrtanega kroga in dve stranici;
- če je znan radij očrtanega kroga in dva notranja kota.
FORMULI, KI JIH LAHKO DOBIMO Z UPORABO SINUSNEGA IZREKA
Z uporabo sinusnega izreka lahko izrazimo ploščino trikotnika s pomočjo vseh treh stranic
trikotnika in polmerom očrtanega kroga:
Iz slike vidimo, da velja sin α = vc/b.
Ker velja 2R = a/sin α,
velja R = a/(2sin α).
Vstavimo sin α = vc/b in dobimo:
R = (ab)/(2vc).
Vstavimo vc = (2S)/c (saj vemo: S = cvc/2)
in dobimo
R = (abc)/(4S).
Torej velja formula:
Če vstavimo v zgornjo formulo a = 2R sin α, b = 2R sin β in c = 2R sin γ, dobimo še
formulo, ki izraža ploščino trikotnika s pomočjo vseh treh kotov trikotnika in polmerom očrtanega
kroga:
Opomba:
Ploščino trikotnika pa lahko izrazimo tudi s polmerom včrtanega kroga:
Razdelimo trikotnik ABC, kakor kaže zgornja slika.
Velja:
S = S(ΔABS1) + S(ΔBCS1) + S(ΔCAS1) =
= 1/2 rc + 1/2 ra + 1/2 rb =
= 1/2 r(a + b + c)
Torej velja formula:
, kjer je s = (a + b + c)/2.
