Trikotnik ABC prezrcalimo čez razpolovišče ene od stranic (npr. a). Pri tem se daljice preslikajo v
vzporedne daljice, razdalje pa se ohranjajo. Dobimo paralelogram ABA'C, sestavljen iz skladnih
trikotnikov ABC in A'CB. Ploščina trikotnika je torej enaka polovični ploščini
paralelograma z enako osnovnico in višino (glej poglavje o paralelogramih). Torej je
enaka: S = c•vc/2 oz.
S = a•va/2 oz.
S = b•vb/2.
S pomočjo kotnih funkcij lahko izrazimo posamezne
višine va, vb in vc in jih vstavimo v omenjeno formulo:
|
Ploščina trikotnika je enaka ploščini pravokotnika, ki ima enako osnovnico in polovično višino
trikotnika.
DOKAZ:
Načrtamo srednjico EF trikotnika ABC. Na nosilko daljice EF načrtamo iz oglišč A, B in C pravokotno
daljice AH, BG in CC'. Denimo, da je srednjica EF znotraj daljice GH. Potem sta si trikotnik ABC in
pravokotnik ABGH po razcepitvi enaka. Torej imata enaki ploščini. Iz slike se lepo vidi, da je ploščina
trikotnika enaka
c•v/2. (Veljajo seveda tudi vse zgoraj naštete formule.)
Te formule veljajo za ploščino trikotnika tudi v primeru, ko leži srednjica EF povsem zunaj daljice GH.
Dokaz izpustimo.
Lahko pa tudi vidimo:
Prva slika spodaj dokazuje, da je ploščina trikotnika enaka v•c/2. Druga pa
dokazuje, da je ploščina trikotnika enaka: (c•v)/2.
Ker obseg predstavlja vsoto stranic lika, je obseg poljubnega trikotnika enak:
Hitro lahko vidimo, da je ploščina pravokotnega trikotnika enaka polovici ploščine ustreznega pravokotnika:
Ker ima enakostranični trikotnik skladne vse tri stranice in vse tri kote lahko s pomočjo do sedaj ugotovljenih formul in kotnih funkcij ugotovimo:
|
Hitro lahko tudi vidimo, da je obseg enakostraničnega trikotnika enak:
Ploščino trikotnika ABC lahko izračunamo tudi, če poznamo dolžine vseh treh stranic. Obrazec se po
starogrškemu matematiku imenuje
Heronova formula: