PLOŠČINE IN OBSEGI


PLOŠČINA IN OBSEG POLJUBNEGA TRIKOTNIKA

Trikotnik ABC prezrcalimo čez razpolovišče ene od stranic (npr. a). Pri tem se daljice preslikajo v vzporedne daljice, razdalje pa se ohranjajo. Dobimo paralelogram ABA'C, sestavljen iz skladnih trikotnikov ABC in A'CB. Ploščina trikotnika je torej enaka polovični ploščini paralelograma z enako osnovnico in višino (glej poglavje o paralelogramih). Torej je enaka: S = cvc/2 oz. S = ava/2 oz. S = bvb/2.
S pomočjo kotnih funkcij lahko izrazimo posamezne višine va, vb in vc in jih vstavimo v omenjeno formulo:

ploščina poljubnega trikotnika 1   

Iz prve formule vidimo, da so trikotniki z isto osnovnico in isto višino ploščinsko enaki.

Razmišljamo lahko tudi tako:

Ploščina trikotnika je enaka ploščini pravokotnika, ki ima enako osnovnico in polovično višino trikotnika.

DOKAZ:
ploščina poljubnega trikotnika 2
Načrtamo srednjico EF trikotnika ABC. Na nosilko daljice EF načrtamo iz oglišč A, B in C pravokotno daljice AH, BG in CC'. Denimo, da je srednjica EF znotraj daljice GH. Potem sta si trikotnik ABC in pravokotnik ABGH po razcepitvi enaka. Torej imata enaki ploščini. Iz slike se lepo vidi, da je ploščina trikotnika enaka cv/2. (Veljajo seveda tudi vse zgoraj naštete formule.)

Te formule veljajo za ploščino trikotnika tudi v primeru, ko leži srednjica EF povsem zunaj daljice GH. Dokaz izpustimo.
ploščina poljubnega trikotnika 3

Lahko pa tudi vidimo:
Prva slika spodaj dokazuje, da je ploščina trikotnika enaka vc/2. Druga pa dokazuje, da je ploščina trikotnika enaka: (cv)/2.

ploščina poljubnega trikotnika 4 ploščina poljubnega trikotnika 5

Ker obseg predstavlja vsoto stranic lika, je obseg poljubnega trikotnika enak:



PLOŠČINA PRAVOKOTNEGA TRIKOTNIKA

Hitro lahko vidimo, da je ploščina pravokotnega trikotnika enaka polovici ploščine ustreznega pravokotnika:

ploščina pravokotnega trikotnika


PLOŠČINA IN OBSEG ENAKOSTRANIČNEGA TRIKOTNIKA

Ker ima enakostranični trikotnik skladne vse tri stranice in vse tri kote lahko s pomočjo do sedaj ugotovljenih formul in kotnih funkcij ugotovimo:

ploščina enakostraničnega trikotnika

Hitro lahko tudi vidimo, da je obseg enakostraničnega trikotnika enak:


Ploščino trikotnika ABC lahko izračunamo tudi, če poznamo dolžine vseh treh stranic. Obrazec se po starogrškemu matematiku imenuje Heronova formula:

Dokaz si lahko ogledamo tukaj.