KOSINUSNI IZREK

KOSINUSNI IZREK:
Kosinusni izrek nam pomaga pri računanju neznanih stranic oz. kotov trikotnika, pri katerem poznamo dolžine vseh treh stranic ali dolžini dveh stranic in kot med njima. Veljajo namreč zakonitosti:

DOKAZ:
poljubni trikotnik
V poljubnem trikotniku ABC narišemo višino, ki osnovnico razdeli na odseka dolžine x in c-x.
Iz nastalih dveh trikotnikov izrazimo višino s Pitagorovim izrekom:
v2 = b2 - x2
v2 = a2 - (c - x)2
Ker sta leva dela enačb enaka, sta tudi desna, zato:
b2 - x2 = a2 - c2 + 2cx - x2
Preuredimo enakost tako, da izrazimo a2, in odsek x nadomestimo z bcos α, in že imamo eno od različic enakosti:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos α
Podobno dokažemo tudi ostali dve enakosti.

Formule za izračun kota dobimo, če iz pravkar dokazanih formul izrazimo ven kosinus posameznega kota.


Kosinusni izrek pa lahko dokažemo tudi s pomočjo vektorjev. To si lahko ogledamo tukaj.

V pravokotnem trikotniku preide kosinusni izrek v Pitagorov izrek.

Utemeljitev:
V pravokotnem trikotniku, kjer je kot γ = 90°, je cos γ = 0:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos γ =
= a2 + b2 - 2ab 0 =
= a2 + b2.
Torej dobimo Pitagorov izrek c2 = a2 + b2.