Največje enigme številskega sveta so bile neskončno majhne ali velike količine. Ljudje so rabili tisočletja, da so jih poimenovali in abstraktno definirali. S Peanovimi aksiomi in števili 0,1 in ∞ lahko postavimo celotno številsko teorijo. Kje pa se je zgodba začela?

NIČLA igra vlogo, ki se razlikuje od ostalih števil. Tisočletja je rabila od znamenje za 'nič koruze v vreči' do števila, s katerim računamo. Povzročila je pravo revolucijo v mišljenju. Ničla kot 'prazen prostor' je burkala filozofske vode. Odsotnost je ponazarjala s svojo prisotnostjo. Kar pomeni ničesar ni, pomeni nič je. Hkrati vsega tega pa je le čisto navaden prostorski pojem. Nazadnje so je definirali kot rezultat operacije, če od kateregakoli celega števila odštejemo njega samega: 0 = n - n. Je vsemogočna (za vsako število je n x 0 = 0) in nemočna (za vsak n je n + 0 = n). Bežite pa stran od izraza, ki ga delimo z 0 - ta seveda ni definiran.

Zgodovina ničle je zgodba v treh dejanjih. Najprej so jo uporabljali kot golo orodje, označevanje nečesa, česar ni. Babilonci so v 3.st.p.n.št. uporabljali dvojni klinasti znak za ničlo. Poznana je bila tudi v majevski astronomiji. V prvem tisočletju so astronomi razvili dvajsetiški sistem, ki je poznal mestne vrednosti. Ničla je ločevala ostale števke med sabo. Vendar ni predstavljala števila. V Indiji je imela ničla prvič združeno vlogo znaka, števke in števila. Prvič je bila omenjena v kozmološki razpravi v sanskrtu Lokavibhaga (Deli vesolja) leta 458 s simbolom 0 kot 'sunja' (praznina). Delo se je prevajalo v arabščino, kjer je 'sunja' postala 'sifr' (ohranjeno danes kot cifra), prevod v latinščino pa je bil 'zephiro' (ostanek v angleščini kot 'zero'). Z njo so računali. Širjenje pisnega računanja pa je zgodba zase, v šole je prišlo le par stoletij nazaj. Očitno pa je pot od niča v logiki do ničle kot števila v aritmetiki bila zelo dolga.

POJEM NESKONČNEGA pa je začel najprej burkati domišljijo filozofom, šele kasneje je bil prisoten v številskem svetu. Grki so uporabljali pojem aperion za brezmejno, za neskončnost narave. Predstavljalo je pojem večnosti in neminljivosti. Meje narave se ne da določiti. Aristotel, ki se je lovil z definicijo logike, je sklepal, da je pojem neskončnosti čisto neuporaben v matematiki: "Infinitum actu non datur" (Dejansko ni nič neskončnega). Demokrit iz Abderei je trdil, da je snov sestavljena iz neskončno delcev (atomov): "Celota je neomejena zaradi števila atomov."

Na Zahodu so uporabljali Aristotelovo logiko, ki zanika obstoj dejanske neskončnosti. Filozofska postavka je bila, da če nekaj nima konca, ne more obstajati kot nekaj določenega in nima lastnosti navadnih števil. Je vseobsegajoča nepopolnost (še lihosti/sodosti ji ne moremo določiti..). ∞ je le proces. Od tega je odstopal sv. Avguštin, ki je v delu Civitas Dei sprejel celotno zaporedje celih števil za dejansko neskončnost.

Od neskončnih filozofskih beganj o neskončnosti do matematičnih sta odšla Robert Dedekind in Georg Cantor. Vprašanja sta se lotila - s preslikavo. Dokazala sta, da obstaja bijektivna preslikava med celoto in njenim (nes)končnim delom. Brez problemov lahko napletemo preslikavo iz sodih števil v vsa naravna (in nazaj). Postopek sta imenovala obratno enolično prirejanje. Po domače bi lahko rekli, da v bistvu preštejemo vse elemente. Dobimo definicijo ne ene, ampak kar dveh neskončnosti: števne in neštevne neskončnosti. Če obstaja enolično prirejanje med izbranimi števili in naravnimi, je ta množica števna (množica sodih/lihih števil, negativna števila, cela števila, vsi ulomki - racionalna števila). Pri realnih številih pa se stvari zapletejo. Bijektivne korespondence z naravnimi števili ni, ker so realna števila preveč 'gosta'. Pravimo, da jih je neštevno mnogo.

Moč neskončnih množic imenujemo transfinitna kardinalna števila. Moč števnih množic je najmanjše transfinitno število (hebrejska črka alef), množica realnih števil pa ima moč kontinuuma.

Torej imamo neskončnost števnih množic in vseobsegajočo neskončnost neštevnih množic. Ali je kaj vmes? Da, potenčna množica naravnih števil, ki je neštevna (vse možne množice, sestavljene iz naravnih števil). Cantor je ustvaril aritmetiko transfinitnih števil, ki je analogna navadni aritmetiki. Dokazal je, da se tudi neskončne množice dajo urediti. Pandorina skrinjica se je odprla. Prišlo je do veliko paradoksov, najbolj znani Russelov paradoks o brivcu.