©2005

 

UVOD

VSE JE V PRSTIH

PERO PRED MEČEM

VSE ALI NIČ

SVET SE ŠIRI

STARI ZNANCI

POVEZAVE

 

email

Človek je začel šteti. Nato je začel računati. Kasneje je reševal enačbe. In še je našel čas izumiti nove vrste števil. Teorija števil - aritmetika, kraljica matematike po Gaussu, raziskuje te svetove, njihove nerazložljive vzorce in pravila.

NARAVNA ŠTEVILA
Kot rečeno se je začelo s štetjem. Vključimo še nič in dobimo množico naravnih števil: 0,1,2,3... Vsako število dobimo, da prištejemo prejšnjemu 1. Z njimi lahko le množimo in seštevamo. Poznamo lastnosti sodosti (deljivost z 2) oz. lihosti. Da množenje ohranja sodost so poznali že pitagorejci 5.st.p.n.št.

Problem odštevanja je rešila razširitev naravnih števil z nič in negativnimi, dobljena pa se imenujejo CELA ŠTEVILA. V Indiji so že v 6.st. uporabljali negativna števila za zapis dolgov (poznajo že 0). Na Zahodu jih še tisočletje kasneje ne poznajo! Poznali so jih kot rešitve enačb, Rene Descartes ima nepozitivne rešitve za neprave. Imenujejo jih celo numeri absurdi, kar verjetno ni treba prevajati. Šele v 17.st. si je nagleški matematik John Wallis drznil narisati negativno število na koordinato krivulje.

RACIONALNA ŠTEVILA
Bila so veliko bolj priljubljena kot cela števila. Do njih so prišli ne s štetjem, ampak merjenjem. Beseda ulomek pride iz latinske besede 'fractio', ki je prevod arabske 'kasra', ta pa pomeni 'zlomljen'. Že pitagorejci so imeli idejo o 'zlomljenih številih', ki povezujejo cela števila. Babilonci in Egipčani so poznali ulomke s števcem 1. V krščanski Evropi pa so jih poznali kot turški ulomki. Obstaja pa še veliko pomanjkljivosti v dani množici, npr. v Q ni rešljiva vsaka enacba x^n = a (za pozitiven a).

Pitagorejci v stari Grčiji pa so naleteli na problem merjenja diagonale kvadrata (poznali so Pitagorov izrek), a besede za dobljeno niso imeli. Kvadratni koren iz 2 so poimenovali kar alagon (neizrekljivo).

koren

2000 let kasneje so označili števila, ki jih ni mogoče napisati kot ulomek ali s periodičnim decimalnim zapisom - koreni, Pi, e - za IRACIONALNA ŠTEVILA. Grki so jih poskušali razumeti kot "števila", kar je za tiste čase pomenilo le razmerje količin. Legenda pravi, da so bogovi Hipaza iz Metaponta utopili pri brodolomu, ker je odkril iracionalna stevila. Na številski premici jih je skoraj nemogoče narisati (za kvadratne korene obstaja postopek).

Racionalna in iracionalna števila tvorijo množico REALNIH ŠTEVIL. Iracionalna števila predstavljajo večinski delež. Povzročajo tudi preglavice. Če ima število neskončno dolg decimalen zapis, ne moremo trditi, da je natančno določeno. In kako naj primerjamo, da je večje od drugega, ki ima enakih milijon decimalnih mest.. kdo bi računal tako dolgo, da bi našel razliko?

KOMPLEKSNA ŠTEVILA
Matematike je zelo mučila rešljivost enačbe x ∙ x = - 1. Kvadrat vsakega poznanega števila je pozitivna stvar. Zato je bilo treba definirati nova števila, ki so jih poimenovali IMAGINARNA ŠTEVILA. Imaginarna enota je postal kvadratni koren iz -1, ki ga je šele Leonhard Euler označili kar i. Problem tokrat ni prihajal iz narave, ampak je čisto abstraktne narave. Zato veljajo tudi skonstruirana števila za umetno postavljen svet, ki nima nič dejanskega v zvezi z realnostjo. Ali pač? Fiziki jih uporabljajo že desetletja v računih nihanja in valovanja. Sicer pa je trajalo 3 stoletja, da so začeli računati z njimi. Npr. prvi je napisal koren negativnega števila, -15, italijan Cardano leta 1545. Negativna števila so bila nepriljubljena. Imaginarna in realna števila tvorijo skupaj KOMPLEKSNA ŠTEVILA, sestavljena iz dveh koordinat - prve realne in druge imaginarne. Definirali so tudi nove operacije: i × i = - 1, i × i × i = - i, i × i × i × i = 1. Kompleksna števila imajo zelo svojevrstne lastnosti. Niso urejena, rešljive so vse kvadratne enačbe in velja celo več, nekaj kar imenujemo osnovni izrek algebre: vsak polinom n-te stopnje ima n kompleksnih ničel.

KVATERNIONI ali HIPERKOMPLEKSNA ŠTEVILA
Leta 1843 je William Rowan Hamilton, irski astronom, med nekim oktobrskim sprehodom pod dublinskem mostom 'odkril' to novo vrsto števil. So posplošitve kompleksnih števil. Medtem ko so ta sestavljene iz realne in imaginarne komponente, so kvaternioni sestavljeni kar iz štirih: h = a + bi + cj + dk.

hierarhija
hierarhija števil

nazadnje posodobljeno: 1. oktober 2005
©2005 Nataša Cerar Rot