Matejev fraktalni travnik

Iteracije

Oglejte si sliko v zgornjem levem kotu. Verjetno se bi mi smejali, če bi vam rekel, da je trikotnik. To seveda ni trikotnik, vendar je nastalo iz trikotnika. Kako? Z iteracijami seveda!

Začnimo z enakostraničnim trikotnikom

, kateremu na sredini vsake stranice naredimo trikotnik, ki je tretjino manjši. Tako smo dobili nekakšno zvezdo.

Sedaj ponovimo postopek na malih trikotnikih (vidimo da jih je 6). In prikaže se nam podoba ki je na spodnji sliki pobarvana z zeleno. Nato postopek ponavljamo še in še (iteracija). Vsak naslednji korak je narisan z drugo barvo in povečan (sicer bi se Slike skoraj povsem prekrivale).

Slika, ki jo dobimo spominja na snežinko. V čast njenemu izumitelju jo imenujemo Kochova snežinka.

Sedaj pa naredimo drugače: Narišimo trikotnik (naj bo zelen) in povežimo razpolovišča stranic.

Tako smo dobili 4 trikotnike. Srednjega pobarvamo belo. Ostanejo trije zeleni trikotniki. Sedaj ponovno pride na vrsto iteracija. Vsak zelen trikotnik razdelimo kot prej.

Slika postaja zanimiva. V naslednjem koraku bi morali postopek ponoviti na 9 majhnih trikotnikih. Potem bi imeli 27 zelo majhnih trikotnikov, v naslednjem koraku bi jih imeli že...

Po neskončno korakih dobimo prtiček imenovan trikotnik Sierpinskega.

Po petih korakih

Zanimivosti

Koliko je obseg Kochove snežinke? Koliko je ploščina trikotnika Sierpinskega?

Obseg ponavadi izračunamo tako, da seštejemo dolžine stranic. Toda snežinka ima neskončno stranic, ki so čisto kratke. Potreben je drug pristop. Recimo, da so stranice začetnega trikotnika dolge 1cm. Pri prvem koraku iteracije na srednjo tretjino prilepimo enakostranični trikotnik. Torej pridobimo pri obsegu tretjino cm pri vsaki stranici. Po prvem koraku se je obseg povečal za 1cm. Pri drugem koraku se obseg poveča za 12/9 (premisli zakaj). V vsakem koraku se obseg poveča za vsaj 1cm. Ker je korakov neskončno je obseg neskončen.

Koliko pa je ploščina trikotnika? Izkaže se, da je ploščina 0. (V vsakem koraku zmanjšamo ploščino za 1/4, kar nas po neskončno korakih pripelje do tega, da ploščine zmanjka, je enaka nič.)

Meni se to zdi najbolj neverjetna stvar: trikotnik brez ploščine. Na podoben način pridemo do opeke brez volumna. To pomeni, da za izdelavo opeke ne potrebujem nobenega materiala. Si predstavljate kako enostavna bi postala gradnja hiš. Na enem tovornjaku bi lahko pripeljal dovolj opek za gradnjo stolpnice, saj ne bi nič tehtale. Prav tako ne bi bilo več gradbenih odpadkov, saj bi opeke, ki bi ostale, uničil, tako da ne bi od njih ostalo nič.