Konstrukcija harmonične četverke

• Domov
• Konstrukcija na premici 
• Konstrukcija v ravnini
  

Definicija : Naj bodo p, q, r in s štiri različne premice v projektivni ravnini, ki gredo vse skozi isto točko T. Naj bodo A na premici p, B na premici q, C na premici r in D na premici s.

Potem definiramo dvorazmerje premic p, q, r in s, kot dvorazmerje točk A, B, C in D (D (A,B,C,D) = D (p,q,r,s)).

 Ali smo dobro definirali dvorazmerje premic ?

Odgovor je DA.

Radi bi torej videli, da je D (A,B,C,D) = D (A1,B1,C1,D1). Če je F perspektivnost iz premice, ki gre skozi A, B, C in D, na premico, ki gre skozi A1, B1, C1 in D1, potem je F(A) = A1, F(B) = B1, F(C) = C1 in F(D) = D1. 

Sedaj potrebujemo še to, da perspektivnost ohranja dvorazmerja. Pa poglejmo projektivnost y, kateri pripada matrika M. Za točko L velja : y(L) = ML. 

Naj bodo a, b, c in d koordinatni vektorji za A, B, C in D. Potem so Ma, Mb, Mc in Md koordinatni vektorji za y(A), y(B), y(C) in y(D). Ker imamo dvorazmerje točk A, B, C in D velja : a + b = c, la + b = d in l = D (A,B,C,D). Ker je M linearna velja : Ma + Mb = Mc, lMa + Mb = Md in l = D (y(A), y(B), y(C) in y(D)). S tem smo pokazali, da projektivnost ohranja dvorazmerja. Ker je perspektivnost projektivnost, velja tudi, da perspektivnost ohranja dvorazmerja.

Zaradi tega je dvorazmerje premic dobro definirano (Harmonična četverka je dvorazmerje z vrednostjo -1).