DVE EVKLIDOVI TRDITVI (iz dela Elementi, knjiga III, Trditev 35 in 36) ZDRUŽENI V ENI

TRDITEV:

Produkt odsekov, ki ju na premici skozi dano točko P ustvarjajo točka P in presečišči premice z dano krožnico K, je neodvisen od izbrane premice (odvisen je le od točke P in krožnice K).

DOKAZ:

1) Najprej poglejmo dokaz za primer, ko točka P leži znotraj krožnice K (Slika 1).

(Vse slike so interaktivne. Z miško lahko kliknemo na obarvane točke in jih premikamo. Če želimo sliko vrniti v prvotno stanje, pustimo miškin kazalec nad sliko in pritisnemo space-bar.)

Skozi točko P narišimo poljubni premici in njuna presečišča s krožnico K označimo z A, A', B, B', kot na sliki 1. Sedaj poglejmo trikotnika AB'P in BA'P:
Kota APB' in BPA' sta sovršna, torej skladna.
Kota PAB' in PBA' sta obodna kota nad lokom A'B', zato sta tudi ta dva kota skladna.
Tako imamo trikotnika AB'P in BA'P, ki se ujemata v dveh kotih, torej sta podobna in imata enaka razmerja stranic:

PA : PB' = PB : PA'

oziroma

PA ∙ PA' = PB ∙ PB'.

Vidimo, da je produkt odsekov na poljubno izbranih premicah enak, torej neodvisen od izbire premice, temveč le od točke P in krožnice K (dolžine odsekov so odvisne le od lege točke P in velikosti krožnice K).

2) Dokaz za primer, ko točka P leži zunaj krožnice K (Slika 2 in Slika 3).

Skozi točko P narišimo poljubni premici tako, da ima vsaka vsaj eno skupno točko s krožnico K.

Poglejmo najprej primer, ko vsaka premica seka krožnico K v natanko dveh točkah.

Slika 2

Presečišča označimo z A, A', B, B', kot na sliki 2.
Poglejmo trikotnika PBA' in PAB':
Kot pri oglišču P imata skupen, kota PA'B in PB'A pa sta obodna kota nad lokom AB in zato skladna.
Torej se trikotnika PBA' in PAB' ujemata v dveh kotih, kar pomeni, da sta podobna in imata enaka razmerja stranic:

PA : PB' = PB : PA'

oziroma

PA ∙ PA' = PB ∙ PB'.

Tako je tudi v tem primeru produkt odsekov neodvisen od izbire premice, ampak le od točke P in krožnice K.

Sedaj pa poglejmo še primer, ko se ena premica krožnice K dotika, druga pa jo seka v natanko dveh točkah.

Slika 3

Presečišči in dotikališče označimo z A, A', T, kot na sliki 3.
Poglejmo trikotnika PTA in PA'T:
Kot pri oglišču P imata skupen.
Kot PTA je kot med tangento na krožnico K in tetivo skozi dotikališče ter je zato enak obodnemu kotu nad to tetivo na nasprotnem bregu, t. j. kotu PA'T.
Tako se trikotnika PTA in PA'T ujemata v dveh kotih, zato sta podobna in imata enaka razmerja stranic:

PA : PT = PT : PA'

oziroma

PA ∙ PA' = PT ∙ PT.

Tudi ta enakost nam pove, da je produkt odsekov neodvisen od izbire premice, ampak le od točke P in krožnice K.