PITAGOREJCI IN POPOLNA ŠTEVILA

Odkritje popolnih števil ponavadi povezujejo povezujejo s šolo Pitagorejcev. Pitagorejci( učenci matematika Pitagore iz 6 stoletja pr.Kr.) so opazili, da imajo nekatera števila posebno lastnost, t.j. da je vsota deliteljev števila enaka številu samemu( pri tem gledamo samo delitelje manjše od števila samega).

Primer:

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

Taka števila imenujemo popolna oziroma perfektna števila.

Definicija:

POPOLNO ( PERFEKTNO) ŠTEVILO je naravno število n, ki je enako vsoti vseh svojih deliteljev, manjših od n.

Definicija:

Označimo s s(n) vsoto vseh deliteljev števila n, vključno z n.

Očitno velja:

n je popolno število natanko takrat, ko je s(n)=2n.

Evklid je v svoji najbolj znani zbirki knjig Elementi( 300 pr.Kr.) dokazal tole:

Trditev:

Če je p=2m -1 praštevilo, potem je n=2m-1(2m -1) popolno število.

Dokaz:

Če je p=2m -1 praštevilo potem so

1, 2, 22 , . . . , 2 m-1, p, 2p, . . . , 2 m-1 p

delitelji števila n=2 m-1p.

Vsota vseh deliteljev je

s(n) = 1+ 2+ 22 + . . . + 2 m-1+ p+ 2p+ . . . + 2 m-1 p =

(1+ 2+ 22 + . . . + 2 m-1)( p+1) = ( 2m-1)(1+p) = 2m p = 2n

To pa pomeni, da je n popolno število.

 

 

MERSENNOVA PRAŠTEVILA

Trditev:

Če je 2m-1 praštevilo potem je tudi m praštevilo.

Dokaz:

Dokazali bomo negacijo te trditve, torej če m ni praštevilo potem tudi 2m-1 ni praštevilo.

Naj bo m = ab; a,b > 1( m je sestavljeno število). Potem je tudi

2m-1 = 2ab -1= (2a -1)(( 2a)b-1 +( 2a)b-2 + . . . + 2a + 1) sestavljeno število.

Obrat ne velja. Oglejmo si primer:

11 je praštevilo, ampak 211-1=2047=23*89

Definicija:

Praštevila oblike 2m-1 imenujemo Mersennova praštevila.

 

Merssene( 1588-1684) je bil francoski redovnik. V predgovoru svoje knjige Cogita-Physico Mathematica, ki je izšla leta 1644 je trdil, da je 2m-1 praštevilo za m=2,3,5,7,13,17,19,31. Trdil je tudi, da je 267-1 praševilo. Tu je naredil napako. To je dokazal Frederick Nelson Cole na sestanku Ameriškega matematičnega društva. Ko je bil na vrsti, da spregovori, je šel k tabli ter izračunal 267-1 in nato še zmnožil števili 193707721 in 761838257287. Pri obeh računih je dobil enak rezultat. Takrat se je prvič zgodilo, da so poslušalci vstali in začeli ploskati. Cole je našel prafaktorje Mersennovega praštevila. Menda mu je to jemalo nedeljske popoldneve skozi 20 let.

Antični Grki so poznali 4 Mersennova praštevila, Mersenne jih je poznal 8. Do danes pa je znanih 32 Mersennovih praštevil( k odkritju so veliko pripomogli računalniki).

Ali je s tem zgodbe konec. Najbrž ne . Domnevajo, da je Mersennovih praštevil neskončno mnogo.

 

Euler je dokazal:

Trditev:

Vsako sodo popolno število lahko zapišemo v obliki kot jo je podal Evklid

2 m-1(2m-1).

Dokaz:

Naj bo n popolno število. Naj bo n = 2m-1q , kjer je q liho; q,m > 1. Vsak delitelj števila n je oblike 2rd, kjer je 0≤ r ≤ m-1 in d delitelj števila q.

Zato s(n)= (1+ 2+ 22 + . . . + 2 m-1 )s(q)= (2m-1)s(q). Ker n popolno število je

s(n)=2n=2mq=(2m-1)s(q). Oglejmo si

(2m-1)(s(q)-q)= (2m-1)s(q)- 2mq+q=q.

Torej dobimo:

(2m-1)(s(q)-q)=q

Vemo, da je s(q)-q ≥ 1(po definiciji s(q)).

Kako vemo, da s(q)-q ni enako q. Če s(q)-q = q potem (2m-1)q=q in 2m-1=1. Torej 2m=2 in m=1. Sledi protislovje, ker m > 1.

Delitelji q so: 1, s(q)-q, q.

Po definiciji je s(q) ≥ 1+ (s(q)-q)+q=1+s(q). Sledi protislovje. Torej je s(q)-q=1 ali s(q)=q+1( t.j. delitelja števila q sta samo 1 in q). To pa pomeni, da je q praštevilo. Še več. Ker (2m-1)(s(q)-q)=q in s(q)-q=1 je q=2m-1.

 

LASTNOSTI POPOLNIH ŠTEVIL
  • ne vemo, če obstajajo kakšna liha popolna števila , čeprav je dokazano, da ni manjšega od 10 300
  • vsako popolno število se konča s 6 ali 8
  • vsako popolno število je trikotniško, t.j. je oblike 1/2n(n+1) za nek n
  • cifrni koren vsakega sodega števila je 1 ( cifrni koren dobimo, če seštejemo vse cifre števila, nato vse cifre tega števila in tako naprej, dokler ne dobimo število z eno samo cifro)
  • vsako sodo popolno število( razen 6) je vsota zaporednih lihih kubov

    Npr.

    28 = 13+33

    496 = 13+33+53+73

    8128 = 13+33+53+73+ 93+113+133+153

    • 
    

  • če je n sodo popolno število, je vsota recipročnih vrednosti vseh deliteljev 
za n enaka 2

    Npr.

    1/1+1/2+1/3+1/6=2

    1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
    • 

    
    

  • če vzamemo sodo popolno število različno od 6 in seštejemo njegove cifre, 
je dobljeno število za ena večje od večkratnika števila 9





         




	




             


     




 










			



		


				




Nazaj na začetno stran.