Potenčna premica dveh krožnic

Izrek:

Geometrijsko mesto točk, ki imajo enake potence glede na dve nekoncentrični krožnici, je premica, pravokotna na centralo teh krožnic. Ta premica se imenuje potenčna premica dveh krožnic.

DOKAZ:  Koordinatni sistem postavimo tako, da leži središče prve krožnice v koordinatnem izhodišču, centrala krožnic pa je x os. Torej imamo krožnici K₁(0, r₁) in K₂ (S, r₂).

Ce to beres, potem ne vidis slike v java programu!

Oznake:
    0(0,0), S(a,0)
    r₁ - razdalja od 0 do R1
    r₂ - razdalja od S do R2
    d₁ - razdalja od 0 do T
    d₂ - razdalja od S do T

Potenca točke T(x,y) glede na K₁ :  d₁² - r₁² = x² + y² - r₁²

potenca točke T(x,y) glede na K₂ :  d₂² - r₂² = (x-a)² + y² - r₂².

Ker iščemo točke z enakimi potencami glede na obe krožnici, zgornji enačbi izenačimo in dobimo
  d₁² - r₁² = d₂² - r₂²
  x² + y² - r₁² = (x-a)² + y² - r₂²
  2ax = r₁² - r₂² + a²
  x = a/2 + (r₁² - r₂²)/2a

Množica točk, ki jo iščemo, je torej premica z enačbo x = a/2 + (r₁² - r₂²)/2a. Prva koordinata x je določena, druga y pa je poljubna, zato je ta premica vzporedna izbrani y osi oziroma pravokotna na x os, ki je kar centrala krožnic. To pa smo želeli dokazati.

Pojavlja se še vprašanje: ali x res obstaja? Da. Krožnici sta nekoncentrični, zato morata biti središči različni, kar pomeni, da je a različen od 0 in x obstaja.

Lega potenčne premice

1. Na spodnji sliki je premica p potenčna premica narisanih krožnic. Kaj se zgodi, če krožnici večamo ali manjšamo? Poskusimo to na sliki (premikamo lahko točki R1 in R2).
   
   
   Ce to beres, potem ne vidis slike v java programu!
   
   
   

   Opazili smo lahko, da je potenčna premica vedno bližje središču manjše krožnice.
   To našo ugotovitev tudi dokažimo.
   

   TRDITEV: Potenčna premica dveh krožnic leži bližje središču manjše krožnice.
   
   

   Dokaz:
   Enačba potenčne premice je   x = a/2 + (r₁² - r₂²)/2a.
   

   Če je r₁ < r₂ , je   (r₁² - r₂²) / 2a < 0  in   x < a/2 , torej smo bliže središču manjše krožnice.
   

   V primeru, ko je r₁ > r₂, je x > a/2 in smo pravtako bližje središču manjše krožnice.
   
   

2. Potenčna premica ne seče samo ene od krožnic, saj bi potem bile na njej tudi točke, ki imajo negativno potenco glede na eno in pozitivno potenco glede na drugo krožnico (npr. točka (x,y) na spodnji sliki), kar pa je v nasprotju z definicijo potenčne premice.
   
   Ce to beres, potem ne vidis slike v java programu!

Posebna primera

Ce to beres, potem ne vidis slike v java programu!

Točki A in B imata potenco 0 glede na obe krožnici (ker ležita na njih), zato mora potenčna premica potekati skoznju.

Ce to beres, potem ne vidis slike v java programu!

Točka A ima potenco 0 glede na obe krožnici, zato mora potenčna premica potekati skoznjo in hkrati mora biti pravokotna na centralo, zato je kar tangenta na krožnici v točki A.

Konstrukcija potenčne premice

1. Obstaja samo ena točka, ki ima enake potence glede na tri nekoncentrične nekoaksalne (paroma nimajo iste potenčne premice) krožnice:
   Na potenčni premici p₁ krožnic K₁ in K₂ so točke z enako potenco glede na ti dve krožnici, na p₂ pa imajo točke enako potenco glede na K₂ in K₃. Zato mora zaradi tranzitivnosti presečišče premic p₁ in p₂ ležati tudi na tretji potenčni premici p₃ (točke z enako potenco glede na K₁ in K₃).
   To presečišče imenujemo potenčni center treh krožnic.
   

   (Na spodnji sliki lahko vidimo, da če s premikanjem točk R1, R2, S spreminjamo velikosti krožnic, se njihove potenčne premice sekajo v natanko eni točki P.)

   
   

2. Narisati želimo potenčno premico dveh nekoncentričnih nesekajočih se krožnic. Pomagamo si s tretjo krožnico, ki jo narišemo tako, da seka prvi dve. Narisati znamo potenčno premico AB za prvo in tretjo krožnico ter potenčno premico CD za drugo in tretjo krožnico, ker se sekajo (glej posebni primer). Skozi presečišče P teh dveh potenčnih premic narišemo pravokotnico EF na centralo OS prvih dveh krožnic in to je željena premica, saj se po I. potenčne premice sekajo v natanko eni točki P.