PTOLEMEJEV IZREK IN NJEGOV OBRAT

Klavdij Ptolemej (2. stol.)

Bil je eden najpomembnejših astronomov in geografov svoje dobe, ukvarjal pa se je tudi z matematiko. Predlagal je geocentrično teorijo, ki je bila priznana še 1400 let, dokler ni Kopernik postavil svoje heliocentrične teorije. Njegovo najpomembnejše delo je Almagest, kjer je podal matematične teorije za gibanje Sonca, Lune in planetov.

Izmed vseh grških matematikov pa so ravno njegova dela sprožila največ razprav.

Tako ga nekateri uvrščajo med največje grške matematike, drugi trdijo, da je bil le odličen razlagalec, tretji pa celo, da je zagešil zločin proti drugim znanstvenikom, ker se naj bi izneveril etiki in poštenosti v svojem poklicu.

Več o njem lahko najdete TU

 

Tukaj pa si lahko ogledate izrek, ki se imenuje po njem in obrat tega izreka.

PTOLEMEJEV IZREK:

V tetivnem štirikotniku je vsota produktov dolžin nasprotnih stranic enaka produktu dolžin diagonal, torej

ac + bd = ef

 

DOKAZ: Vemo, da je vsota nasprotnih kotov v tetivnem štirikotniku enaka 180°.

Najprej narišemo iz točke P pravokotnice na nosilke stranic AB in BC ter diagonalo AC in poiščemo tetivne štirikotnike.

Ti so trije in sicer:

AB1PC 1, BA1PC1 in CPB1A1

 

Sedaj pa želimo pokazati, da so točke A1, B1 in C1 kolinearne. ( To pomeni, da. Ð A1B1C = Ð AB1C1 )

Ker je štirikotnik AB1PC 1 tetivni, velja ÐC1PA = ÐAB1C1 in ker je štirikotnik CPB1A1 tetivni, velja ÐCPA1 = Ð A1B1C1.

Pri tem smo upoštevali, da so koti nad istim lokom enaki.

Ker je štirikotnik ABCP tetivni, velja ÐAPC = 180° - b . Ker pa je tetivni tudi štirikotnik BA1PC1, je ÐA1PC1 = 180° - b .

Torej sta ta dva kota enaka in če jima odštejemo kot ÐA1PA1, dobimo ÐA1B1C = ÐAB1C1. Torej so točke A1, B1 in C1 kolinearne.

Izračunajmo sedaj kote: ÐB1PC1 = a (nasprotni kot v tetivnem štirikotniku )

ÐA1PC1 = 180° - b

ÐA1PB1 = g (kota nad istim lokom)

Uporabimo sinusni izrek v trikotnikih D B1PC1,D A1PB1, D C1A1P in D ABC.

  • D B1PC1

D ABC

 

C1B1 / sin a = AP

 a / sin a = 2R

Þ C1B1 = a .AP / 2R
  • D A1PB1

D ABC

 

C1B1 / sin g = CP

c / sin g = 2R

Þ C1B1 = c .CP / 2R
  • D C1A1P

D ABC

 

C1A1 / sin b = PB

b/ sin b = 2R

Þ C1A1 = b .PB / 2R

V enačbo C1A1 = C1B1 + B1A1 vstavimo zgornje formule in dobimo

b .PB / 2R = c .CP / 2R + a .AP / 2R

.

Iz te formule dobimo

b .PB = c .CP + a .AP

Torej je vsota produktov nasprotnih stranic res enaka produktu diagonal.

 

 

 

 

OBRAT PTOLEMEJEVEGA IZREKA:

Če v konveksnem štirikotniku velja, da je vsota produktov dolžin nasprotnih stranic enaka produktu dolžin diagonal, je ta štirikotnik tetivni.

 

DOKAZ: Izberimo točko E, da bo veljalo: Ð EAD = g in Ð EBD = Ð CDB.

Označimo še Ð EDB = Ð CDA = d .

Ker sta si trikotnika AED in DBC podobna, velja :

AD / CD = EA / BC = ED / DB ali ED = d . f / c in EA = d . b / c.

Uporabimo kosinusni izrek za trikotnike D AEB, D EDB in D ACD:

EB 2 = d 2 . b2 / c2 + a2 - (2abd / c) . cos (a + g )

EB 2 = d 2 . f 2 / c2 + f 2 - (2d f 2 / c) . cos d

e2 = c2 + d 2 - 2 cd . cos d

Upoštevamo zgornje tri enačbe in dobimo:

e2 f 2 = a 2 c2 + b2 d 2 - 2abdc . cos (a + g )

Ker smo predpostavili, da velja ac + bd = ef, iz zgornje enakosti sledi cos (a + g ) = - 1 oziroma a + g = 180°.

Torej je štirikotnik ABCD tetivni.

 

Začetek

Nazaj