Razvoj algebre v 19. stoletju

 

Šele v 19. stoletju je algebra pridobila na abstraktnosti, po kateri jo poznamo danes. Ključni element v njenem razvoju v tej smeri pa je bila ugotovitev, da zakon o komutativnosti ni nekaj vnaprej veljavnega; da ne drži za vse številske sisteme oz. v vseh matematičnih strukturah. To ugotovitev pripisujejo matematiku britanskega rodu Siru Williamu Rowanu Hamiltonu.

Hamilton se je začel ukvarjati z matematiko nekje pri trinajstih letih, ko je začel preučevati Clairautovo Algebro. Pri petnajstih je začel preučevati dela Newtona in Laplacea in leta 1822 je našel napako v Laplaceovi Méchanique Céleste. Od tedaj naprej se je z matematiko ukvarjal vedno bolj samostojno, bil pa je tudi astronom.

Leta 1833 je predstavil kompleksna števila kot algebraične dvojice, oziroma kot urejene pare realnih števil z operacijami seštevanja in množenja:

(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

(a,b)(c,d) = (ac - bd, ad + bc).

Teorijo je nato hotel razširiti iz parov na trojice, s čimer je bil obseden veliko let. Med tem je leta 1835 izdal delo Algebra kot znanost popolnega časa kot posledica preučevanja Kantove filozofije.

Leta 1843, točneje 16. oktobra, je 'iznašel' sistem, ki se je izkazal za nekomutativnega. Do takrat je veljalo splošno mišljenje, da komutativnost vedno velja. Danes je za nas nekaj povsem vsakdanjega, da komutativnostni zakon ne velja vedno in povsod, saj imamo recimo primer matričnega množenja. Hamilton pa je prišel do ugotovitve približno petnajst let pred razvojem matrične algebre.

Sistem, ki ga je iznašel so kvaternioni. S tem ni le zrušil osnovnih zakonov aritmetike, ampak tudi uveljavil neke vrste teorijo trikomponentnih vektorjev. Hamiltonu se je ideja o kvaternionih porodila med sprehajanjem po nekem mostu v Dublinu, ko se, kot je pozneje napisal v pismu svojemu sinu Archibaldu, ni mogel upreti skušnjavi in je na kamen na mostu z nožem vrezal enačbo

i2 = j2 = k2 = ijk = -1.

Kvaternion pa je število oblike a + bi + cj + dk, kjer so a, b, c, d realna števila, i, j in k pa števila, ki ustrezajo pravilu vrezanemu na mostu.

Dokaz za nekomutativnost kvaternionov poteka takole:

Iz ijk = -1 dobimo z množenjem s k z desne strani ijk2 = -k. Od tod sledi -ij = -k. Iz jiij = 1 pa z isto operacijo dobimo jiijk = k in od tod -ji = k. Če bi za i in j veljala komutativnost, bi iz prejšnjih implikacij dobili enakost k = -k. Kar bi pa pomenilo, da je k = 0. Vemo pa, da je k2 = -1 in torej ne more biti enak 0. Prišli smo do protislovja, torej ij ji.

Čeprav kvaternioni ne zadoščajo zakonu o komutativnosti, pa zadoščajo ostalim zakonom za multiplikativna polja. Na primer neničelni kvaternion a + bi + cj + dk ima multiplikativni inverz

,

kjer je N = a2 + b2 + c2 + d2 norma, za katero velja Nq = qq*, kjer je q* = a - bi - cj - dk konjugiranec k q, ki je dani kvaternion.

Hamilton je leta 1853 izdal knjigo Lekcije o kvaternionih, a je kmalu ugotovil, da ni preveč dobra za učenje. Hotel je napisati delo večne kvalitete in je nato začel pisati Elemente kvaternionov, ki naj bi bili dolgi 400 strani in, ki naj bi jih pisal približno dve leti. (Za model je vzel Evklidove Elemente - od tod tudi naslov.) Nazadnje je bil obseg dvakrat večji, pisal pa jih je sedem let. Umrl je sredi zadnjega poglavja.

Taka in podobna odkritja so vodila v spoznanje, da obstaja več možnih algebraičnih struktur, ki se jih da opisati z enim ali več operacijami delujočimi nad določenih objektih in zadščujočimi določenim zakonom. Algebra ni bila več omejena le na 'navadne' številske sisteme. Ena takih struktur, katere preučevanje se je nadaljevalo iz 18. stoletja, je bila grupa. V 19. stoletju se je preučevalo grupe v povezavi z rešljivostjo polinomskih enačb. Tako je npr. z uporabo koncepta grupe Galois (1811 - 1832) lahko dal odgovor na vprašanje katere polinomske enačbe so rešljive z algebraičnimi operacijami. Pokazano je bilo, da ni splošne algebraične rešitve za enačbe pete stopnje. S polinomskimi enačbami se je v tedanjem času ukvarjal tudi Gauss, ki je podal prvi zadovoljiv dokaz za osnovni izrek algebre, ki trdi, da ima vsaka polinomska enačba stopnje n s kompleksnimi koeficienti, n korenov v kompleksnih številih. Z grupami pa so se takrat ukvarjali tudi francoz Cauchy, norveška matematika Niels Abel in Sophus Lie ter britanec Cayley, ki se je ukvarjal tudi z (nekomutativno) matrično algebro.

Kmalu po Hamiltonovem odkritju se je nemški matematik Hermann Grassmann začel ukvarjati s preučevanjem vektorjev. To je bil začetek vektorske algebre, s katero se je recimo ukvarjal tudi ameriški matematik Gibbs (1839 - 1903).

Zelo razširjen vpliv abstraktnega pristopa je vodil Georga Boolea, da je napisal delo Zakoni misli, algebraično obravnavo osnovne logike. Boole je bil začetnik uporabe simbolov za opisovanje vsega in vse je zreduciral bodisi na resnično bodisi na neresnično. To danes poznamo pod pojmom Booleova algebra, ki je v bistvu podlaga za simbolično logiko in računalniške sisteme. Sicer pa za začetnika simbolične algebre veljata George Peacock in De Morgan, ki sta tudi delovala v 19. stoletju. Peacocka (1791 - 1858) imenujejo tudi Evklid algebre, ker je bil ustanovitelj aksiomatskega razmišljanja v algebri, De Morgan (1806 - 1871) pa je nadaljeval njegovo delo - ukvarjal se je z operacijami definiranimi na abstraktnih simbolih.