PONAREJENI KOVANEC

Zgodovina tega problema se začne z 8 kovanci, med katerimi je en ponarejen in težji od ostalih. Postopno delo je skozi leta pripeljalo do 12 kovancev, za katere ne vemo ali je en lažji ali težji od ostalih.

NALOGA: Imamo 12 kovancev, dodamo še enega, pri pogoju, da vemo, da je ta kovanec dober. Med 13 kovanci je en ponarejen, toda nihče nam ni povedal ali je lažji ali težji od ostalih. Dodamo tudi 14. kovanec, za katerega nam je zagotovljeno, da je dober. Ali lahko s tremi tehtanji ugotovimo, kateri od 13- ih kovancev je ponarejen in ali je lažji ali težji od ostalih?

Skupino kovancev bomo označili z T, če smo se odločili, da je ponarejen kovanec v tej skupini, pri pogoju, da je težji. Sicer bomo označili skupino kovancev z L, pri čemer mora biti ponarejeni kovanec lažji, če želimo, da je v tej skupini. To storimo tako: Enako število kovancev damo na vsako stran tehtnice in vsak kovanec iz tiste strani tehtnice, kjer je tehtnica navzdol označimo z T, vsak kovanec na tehtnici, katere stran se dvigne pa označimo z L. Pri tem tehtanju še nismo določili, kateri kovanec je ponarejen, toda ugotovili smo v kateri skupini je lahko in tako mora biti težji ali lažji od ostalih.

Če imamo sedaj 2 kovanca označena z T in enega z L, lahko, če imamo dva dobra kovanca, ugotovimo, v samo enem tehtanju kateri je ponarejen in ali je lažji ali težji od ostalih:

1T in 1L damo na levo stran tehtnice in dva dobra kovanca na desno stran :

(a) leva stran dol, T napačen

(b) leva stran gor, L napačen

(c) mirovanje: preostali T ponarejen

Vidimo, da postopek deluje samo v primeru, če imamo 2T, 1L in dva dobra kovanca in če je napačen kovanec en izmed teh treh.

Za rešitev dane naloge označimo kovance od 1 do 13 in dober kovanec z D.

Položimo na levo stran tehtnice kovance 1, 2, 3, 4 in 5 na desno stran pa 6, 7, 8, 9 in D. Iz tega tehtanja dobimo 5T in 4L ali pa 9 dobrih in 4 nepoznane kovance. Če tehtnica ne ostane v mirovanju tehtamo 2T in 1L proti 2T in 1L. Če tehtnica zopet ni v ravnovesju, imamo 2T in 1L in lahko ugotovimo, kateri kovanec je ponarejen v dodatnem tehtanju.

Če so posodice v mirovanju, potem lahko določimo kateri od ostalih 4 kovancev je napačen, ostaneta pa nam še dve tehtanji: 2 od 4 damo na levo in en kovanec + dober na desno stran tehtnice. To tehtanje da rezultat 2T in 1L ali pa se tehtnica ne premakne in v tem primeru bo še edini nepoznani kovanec tehtan nasproti dobrega. V vsakem primeru se problem 12 kovancev prevede na problem 12 + 1 kovancev.