DESARGUESOV IN PAPPUSOV IZREK

(A) V afini ravnini

PRVI DESARGUESOV IZREK:

Naj bodo p ,q in r različne vzporedne premice, P, P' p, Q, Q' q in R, R' r pa take točke, da je PQ || P'Q' in QR || Q'R'. Potem je PR || P'R' .

slika

DRUGI DESARGUESOV IZREK:

Naj bodo p ,q in r različne premice, ki gredo skozi isto točko O, in naj bodo P, P' p, Q, Q' q in R, R' r pa take točke, da je PQ || P'Q' in QR || Q'R'. Potem je PR || P'R' .

slika

PAPPUSOV IZREK:

Bodita p in q katerikoli različni premici, P, Q in R različne točke na p in P', Q' in R' različne točke na q. Če je PQ' || P'Q in QR' || Q'R, potem je PR' || Q'R .

slika

(B) V projektivni ravnini

DEFINICIJA:

Dva trikotnika A, B, C in A', B', C' sta v perspektivni legi, če gredo premice AA', BB' in CC' skozi isto točko.

Slika

DESARDUESOV IZREK:

Dva trikotnika A, B, C in A', B', C' v projektivni ravnini sta v perspektivni legi natanko tedaj, ko leže presečišča U = AB A'B', V = AC A'C'

in W = BC B'C' na isti premici.

Slika

DOKAZ:

Privzemimo, da sta trikotnika z oglišči A, B, C in A', B', C' v perspektivni legi in naj bo P = AA' BB' CC'. Izberimo bazne vektorje a, b, c in a', b', c' za A, B, C in A', B', C' ter p za P. Potem velja

p = aa + a'a' = ba + b'a' = ga + g'a'

za primerne a, a', b, b', g, g' . Pri tem noben od parov (a,a'),

(b,b') in (g,g') ni enak (0,0). Potem za vektorje

u = aa - bb = -a'a' + b'b', v = aa - gc = -a'a' + gc in

w = bb - gc = -b'b' + g'c' velja

u (AÅB) Ç (A'ÅB')

v (AÅC) Ç (A'ÅC') in

w (BÅC) Ç (B'ÅC').

Za točke U = AB Ç A'B', V = AC Ç A'C' in W = BC Ç B'C' to pomeni, da je U = L(u), V = L(v) in W = L(w) (kjer L(.) označuje linearno lupino).

Ker je w = v - u, je W Í VÅU, torej so točke Uspešno, V in W res kolinearne.

Obrat sledi iz splošnega principa dualnosti, ki velja v projektivni geometriji.

PAPPUSOV IZREK:

Privzemimo, da je obseg O komutativen. Za dve trojki različnih točk A, B, C in A', B', C' na dveh različnih premicah v projektivnem prostoru so presečišča

AB' Ç A'B, AC' Ç A'C in BC' Ç B'C kolinearna.

Slika

DOKAZ:

Projektivno ravnino P(V) si predstavimo kot disjunktno unijo afine ravnine in premice v neskončnosti. Pri tem privzemimo, da ležita presečišči

P = AB' Ç A'B in R = BC' Ç B'C na premici v neskončnosti. To lahko dokažemo tako, da za vloženo afino ravnino vzamemo a + W, kjer je W = PÅR in a W. V vloženi afini ravnini je potem AB' || A'B in BC' || B'C. Po Pappusovem izreku za afino ravnino sta tudi premici AC' in A'C vzporedni, kar pomeni, da je tudi njuno presečišče na premici v neskončnosti.