CANTOR

 

(oče teorije množic)

 

 

 

 


UVOD

 

 

Nemški matematik Hilbert o Cantorjevem delu pravi: »…to je najčistejši produkt matematičnega genija in najbolj dovršena uresničitev človekove intelektualne dejavnosti.«

Genij je prav gotovo bil - sam je namreč podal jasno in popolno teorijo o neskončnosti, ki je postala osnova sodobne matematike. V času v katerem je živel pa ni dobil priznanja za svoje delo. Danes velja Cantor za enega najbolj izvirnih in pomembnih matematikov vseh časov.

Njegovo polno ime je GEORG FERDINAND LUDWIG PHILIPP CANTOR. Rodil se je v St. Petersburgu, 3.marca 1845, kot najstarejši od treh otrok. Oče je bil Danec - po  poklicu trgovec, mati pa Rusinja - predana umetnosti in glasbi. Vsi trije otroci so podedovali umetniški talent - Cantor sam je zelo lepo risal. Leta 1856 (ko je imel Cantor enajst let) se je družina preselila v južno Nemčijo - oče je bil namreč slabega zdravja in klima je bila tu ugodnejša. Srednjo šolo je Cantor končal z odliko. Veljal je za nadarjenega in predanega učenca - poleg matematike je imel zelo rad tudi filozofijo. Spomladi leta 1862 se je mladi Cantor odločil, da bo svoje življenje posvetil matematiki. Oče je imel z njim drugačne načrte - želel je, da sin postane uspešen gradbenik, vendar ga je slednjič le podprl in Cantor mu je bil za to neizmerno hvaležen. Hkrati pa se je čutil dolžnega dokazati in ne razočarati očeta. Oče je svoje otroke vzgajal v strogem verskem duhu, bil pa je tudi precej premožen in uspešen človek. Vse to je vplivalo na mladega Cantorja. Oče je leta 1863 umrl zaradi tuberkuloze. Bolj kot denar, pa velja omeniti, da je v Cantorju zapustil veliko željo po poklicnem uspehu.

Leto 1874 je bilo pomembno za Cantorjevo zasebno življenje. Poročil se je in imel kasneje šest otrok. V tem času 1872 – 1899 se je tudi spoprijateljil z Dedekindom, s katerim sta se redno dopisovala. Njuno dopisovanje - izmenjavanje mnenj o vprašanjih na katera ju veže enaka strast - je eno najlepših del matematične literature. Cantorjeva odkritja so šokirala matematični svet. Mnogi so mu nasprotovali. V hud spor je prišel z matematikom Kroneckerjem. Zaradi negativnega odnosa, odklonilnosti do njegovih odkritij, Cantor nikoli ni mogel obdržati mesta na dobri univerzi. Svet v katerem je živel ga ni razumel. Leta 1884 (star 39 let) je prvič padel v hudo depresijo, po kateri se nikoli več ni povsem opomogel. Predan svojemu delu se je gnal naprej. Zelo ga je obremenjevala hipoteza kontinuuma, ki je nikakor ni mogel dokazati, pa tudi spor s Kroneckerjem je prispeval svoje. Le-ta je bil pristaš tiste veje matematikov, ki neskončnosti nikakor ni mogla priznati. Cantor enostavno ni zdržal pritiska. Ob napadih depresije se je obrnil stran od matematike in se poglabljal v filozofijo - neko obdobje jo je celo poučeval. Navduševal se je tudi nad literaturo. Poskušal je dokazati, da Shakespeare ni avtor svojih del, pač pa, da za njimi stoji Francis Bacon. Proučeval je tudi Biblijo in študiral teologijo. Njegovo duševno stanje pa se je slabšalo. Leta 1899, ko mu je umrl najmlajši sin, se je dokončno zlomil. Od takrat je več časa preživel v umobolnicah kot zunaj njih. Umrl je 6.januarja 1918 - uradno zaradi odpovedi srca.

Na prelomu stoletja je njegova teorija končno začela dobivati priznanje - mnogo prepozno zanj, da bi v tem lahko užival.

Cantorjev prijatelj je ob njegovi smrti dejal: »Cantor in vse kar je predstavljal ne bo nikoli umrlo. Njegovo delo bodo proučevale in se iz njega učile prihodnje generacije. Nikoli ne bo nihče ostal bolj živ!«

 

 

 

OSNOVNA CANTORJEVA ODKRITJA

 

Že Evklid je v svojih Elementih kot eno izmed petih splošno sprejemljivih resnic zapisal: »Celota je večja od dela.« Ta trditev, ki v celoti podaja tudi Aristotelovo pojmovanje neskončnosti, je za dolgo zaprla vrata neskončnemu številu. Pove, da je celota sestavljena iz delov. Del, ki bi se meril s celoto in ki bi se hotel enačiti z njeno vseobsegajočo velikostjo, bi se sam izločil in izgubil lastnost dela.

Več kot  dva tisoč let kasneje sta nemška matematika Cantor in Dedekind dokazala obstoj neskončnosti. Še več – Cantor je dokazal, da neskončnost ni ena sama. Pomagala sta si s povratno enolično korespondenco in s tem postavila temelje svoje teorije. (Če vsak element iz množice X in vsak element iz množice Y nastopa natanko v enem paru, smo podali povratno enolično korespondenco med elementi množice X in elementi množice Y)

 

Ugotovila sta:

 

1.      Dve množici sta ekvipolentni, če med njima obstaja povratno enolična        

     korespondenca. (oziroma imata enako moč)

 

          Moč množice pa je lahko tudi neskončno. To je bil prvi korak proti novemu 

          pojmovanju neskončnosti.

 

 

2.      Množica, ki je ekvipolentna enemu svojih delov, je neskončna.

(množica je neskončna, če je ekvipolentna kakšni svoji pravi podmnožici)

 

Primer: taka je množica naravnih števil

             (soda, liha števila pa so njen del)

 

 

Osnovno vprašanje: ali je nujno, da sta katerikoli dve neskončni množici istih moči, ali     

                                 pa so tudi neskončne množice različnih moči?

 

Nanj je odgovoril Cantor in odgovor je povzročil pravi vihar med tedanjimi matematiki.

Zanimivo je, da je Cantor prvotno domneval, da morata biti katerikoli dve neskončni množici istih moči. Porabil je kar dvanajst let, ko je poskušal dokazati to domnevo. Nato pa je našel protiprimer – obstaja več kot ena neskončnost, teh je v resnici neskončno mnogo.

 

Kaj je storil Cantor?

 

Vprašal se je ali je vsaka neskončna množica števna.

Vemo, da je množica števno neskončna oziroma števna, če jo lahko postavimo v bijektivno korespondenco z naravnimi števili.

Cantor je opazoval množice, ki so se sprva zdele prevelike, da bi bile lahko števne, toda potem jih je bil zmožen po nekem pametnem načrtu kljub vsemu prešteti.

(prešteti = postaviti v bijektivno korespondenco z naravnimi števili)

 

 

 

Veliko Cantorjevo odkritje je:

 

Množica vseh podmnožic množice naravnih števil je neštevna!

 

(opomba: množica vseh podmnožic = potenčna množica)

 

Množico vseh podmnožic množice naravnih števil torej ne moremo postaviti v bijektivno korespondenco z naravnimi števili. Seveda je množica vseh podmnožic množice naravnih števil tudi neskončna.

 

CANTORJEV IZREK:

 

Za vsako množico A je množica P(A) vseh podmnožic množice A večja od A.

 

 

 

Ideja dokaza je lepo predstavljena v knjigi Satan, Cantor in neskončnost.

Gre pa takole: v določenem delu vesolja vsaka množica prebivalcev sestavlja klub. Šef vesolja bi rad poimenoval vsak klub po prebivalcu tako, da nobena dva kluba nista poimenovana po istem prebivalcu in da ima vsak prebivalec klub imenovan po njem. Ni nujno, da je prebivalec član kluba, ki je imenovan po njem.

Za vesolje s končnim številom prebivalcev je to nemogoče, saj imamo več klubov kot prebivalcev ( n – št. prebivalcev, 2n – št. klubov).

Toda, če ima ta del vesolja neskončno mnogo prebivalcev, zakaj pa ne?!

Pa si poglejmo zakaj to ni mogoče.

Recimo, da se to da izpeljati. Potem pridemo v protislovje na naslednji način:

Rečemo, da je prebivalec družaben, če pripada klubu, ki je poimenovan po njem

in  nedružaben, če mu ne pripada.

Ker vsaka množica prebivalcev določa klub, ga določa tudi množica vseh nedružabnih prebivalcev.

Ta klub je po nekom imenovan – recimo Tina.

Torej vsak član Tininega kluba je nedružaben in vsak nedružaben prebivalec pripada Tininemu klubu.

Ali je Tina družabna ali ne?

Če rečemo, da je Tina družabna, potem pripada klubu imenovanem po njej. Torej Tina pripada Tininemu klubu, temu pa pripadajo le nedružabni. In smo v protislovju.

Če rečemo, da je Tina nedružabna, potem pridemo v protislovje na naslednji način. Vsak nedružaben prebivalec pripada Tininemu klubu, torej mu pripada tudi Tina, kar pa jo naredi družabno.

 

 

 

Posledica Cantorjevega izreka:

 

Obstajati mora neskončno število različno velikih neskončnosti

A < P(A) < P(P(A)) < P(P(P(A))) <…  

 

 

 

 

Toda pojavi se paradoks, ki ga je Cantor sam našel leta 1897.

 

Cantorjev paradoks:

 

Recimo, da za A vzamemo množico vseh množic. Potem po Cantorjevem izreku obstaja množica P(A) večja od množice vseh množic. P(A) je podmnožica množice A, ker A vsebuje vse množice. Torej kako je lahko podmnožica od A večja kot sama množica A?

 

Prevara v Cantorjevem paradoksu je, da je tu taka stvar kot množica vseh množic. V tistem času je bil najbolj razumljiv sistem o matematičnih temeljih, ki so ga poznali, sistem Gottloba Fregeja. Njegov namen je bil izpeljati vso matematiko iz nekaj osnovnih principov logike in množic. Za dodatek k določenim aksiomom logike je vzel le en aksiom za množice – neomejen princip abstrakcije, da vsaka lastnost določa množico – množico vseh stvari, ki imajo to lastnost. Le iz tega edinega aksioma o teoriji množic je Frege lahko izpeljal vse množice, ki jih je matematika potrebovala.

V Fregejevem sistemu je le ena težava: je protisloven. Dovolj žalostno je to, da je Frege ravno, ko je hotel objaviti svoje veličastno delo, dobil pismo od Russella, da je njegov sistem protisloven. Čutil je, da se je njegovo življenjsko delo sesulo. Njegova žalost je bila resnično brez potrebe, saj bi se nedoslednost njegovega sistema dalo popraviti, poleg tega pa je njegovo delo vsebovalo ogromno osnovnih idej, ki so jih pozneje uporabili Russell in ostali.

Obnovitev temeljev matematike je tako pripeljala do Zermelo – Fraenklove teorije množic, ki je ena glavnih matematičnih sistemov, ki se danes uporabljajo. Zermelova osnovna ideja je bila zamenjati Fregejev neomejeni princip abstrakcije, ki vodi do protislovja, z nečim, kar se imenuje omejeni princip abstrakcije ali princip separacije, ki je tak: če imamo dano katerokoli lastnost in katerokoli množico A,  potem obstaja množica vseh elementov množice A, ki imajo to lastnost. Torej ne moremo govoriti o množici vseh x-ov, ki imajo to lastnost, kot je to počel Frege, ampak lahko govorimo o množici vseh x-ov iz A, ki imajo to lastnost.

Razlog, zakaj se Zermelov omejeni princip abstrakcije včasih imenuje princip separacije, je v tem, da ko imamo dano katerokoli množico A, lastnost izloči tiste elemente iz A, ki imajo to lastnost, od tistih elementov iz A, ki je nimajo. Za princip separacije se nikoli ni zgodilo, da bi pripeljal do kakršnegakoli protislovja.

Cantorjev paradoks se ne more konstruirati v Zermelovi teoriji množic, saj se da iz principa separacije dokazati, da ni take stvari, kot je množica vseh množic.

 

 

 

Vemo, da je množica vseh podmnožic množice naravnih števil močnejša od množice naravnih števil.

Vprašanje, ki se pojavi pa je: ali obstaja množica A, ki je večja od množice naravnih števil, a manjša od potenčne množice naravnih števil?

 

 

Spomenik Cantorju

 

Cantor je domneval, da ne obstaja.

V bistvu je domneval bolj splošno hipotezo:

 

Hipoteza kontinuuma:

za nobeno neskončno množico A ne obstaja množica po moči med močema množic A in P(A)

 

 

Do danes to ostaja eden najbolj zanimivih nerešenih problemov v matematiki!

Zakaj beseda kontinuum?

Izkaže se, da se da potenčno množico naravnih števil postaviti v bijektivno korespondenco z množico točk na neskončni premici in premica se včasih imenuje kontinuum.

Kakšno je upanje, da bi rešili ta problem?

Do sedaj so matematiki dokazali, da je hipoteza kontinuuma neodvisna od sedanjih aksiomov teorije množic.

Leta 1939 je Gödel dokazal, da če vzamemo Zermelo - Fraenkelov sistem, ki je eden najmočnejših sistemov matematike znanih do sedaj, potem se hipoteze kontinuuma v njem ne da ovreči.

Leta 1963 pa je Paul Cohen dokazal, da se hipoteza kontinuuma ne da nikoli dokazati iz teh aksiomov.

Tako je hipoteza kontinuuma neodvisna od sedanjih aksiomov teorije množic.

 

Ali to pomeni, da hipoteza kontinuuma ni ne resnična ne napačna, ampak odvisna od tega, kakšen sistem aksiomov vzamemo? To je zelo sporno vprašanje.

Tu so tako imenovani formalisti, ki nimajo hipoteze kontinuuma niti za resnično niti za napačno, ampak popolnoma odvisno od tega, kakšen sistem aksiomov vzamemo, saj lahko dodamo ali hipotezo kontinuuma ali njeno negacijo k aksiomom teorije množic in v vsakem primeru imamo neprotisloven sistem – predpostavljamo seveda, da so aksiomi teorije množic sami neprotislovni, o čemer ni dvoma. Torej formalisti ne verjamejo, da je hipoteza kontinuuma sama po sebi resnična ali napačna, ampak da je odvisna od tega, kakšen sistem aksiomov se vzame.

Na drugi strani so tako imenovani realisti ali platonisti. Ti verjamejo, da je hipoteza kontinuuma zagotovo ali resnična ali napačna, toda ne vemo še kakšna – ne vemo še dovolj o množicah, da bi odgovorili na to vprašanje, ampak to ne pomeni, da vprašanje nima odgovora.

Različna mnenja niso toliko v matematiki kot pa v temeljih matematike. In predmet temeljev matematike se zelo približa filozofiji, v kateri je seveda veliko razlik v prepričanju.

Za Gödela vemo, da je bil platonist. Jasno je poudarjal, da je potrebno edino najti nove aksiome teorije množic, ki bodo očitno resnični kot sedanji in ki bodo dovolj močni, da bodo rešili hipotezo kontinuuma na en ali drug način. Predvidel je celo, da bodo nekega dne odkriti taki aksiomi in tedaj naj bi se izkazalo, da je Cantorjeva hipoteza kontinuuma napačna.

 

 

In za konec: kako Cantor definira končnost?

»Končno je, kar ni neskončno!«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LITERATURA:

 

J. W. Dauben: Georg Cantor – his mathematics and philosophy

W. S. Anglin: Mathematics – A Concise History and Philosophy

R. Smullyan: Satan, Cantor in neskončnost