Ploščina lika omejenega s parabolo in koordinatnima osema

Ploščina lika
omejenega s parabolo in abscisno osjo na intervalu od 0 do 1

Naloga:
Poišči približek za ploščino lika omejenega s parabolo y = x² za x-e med 0 in 1.

Slika:

Ploščino lika pod parabolo lahko aproksimiramo s pomočjo vsote ploščin pravokotnikov, ki so včrtani pod parabolo ali pa nad njo. Govorimo o t.i. spodnjih s in zgornjih vsotah S. Spodnje vsote se s povečevanjem števila včrtanih pravokotnikov povečujejo, zgornje pa zmanjšujejo. Vedno pa je vsaka spodnja vsota navzgor omejena z vsako zgornjo vsoto, vsaka zgornja vsota pa navzdol omejena z vsako zgornjo vsoto. Imamo torej naraščajoče navzgor omejeno zaporedje spodnjih vsot in padajoče navzdol omejeno zaporedje zgornjih vsot. Obe zaporedji imata limito, ki je tudi hkrati iskana ploščina.

V naslednji tabeli si lahko ogledamo vsote plošin različnega števila pravokotnikov skupaj z njihovim povprečjem. Število n označuje število pravokotnikov, število s_n vsoto ploščin včrtanih pravokotnikov, število S_n vsoto ploščin očrtanih pravokotnikov, število P_n, pa povprečje obeh vsot.

n	s_n	S_n	P_n
2	0.12500000	0.62500000	0.37500000
4	0.21875000	0.46875000	0.34375000
8	0.27343750	0.39843750	0.33593750
16	0.30273438	0.36523438	0.33398438
32	0.31787109	0.34912109	0.33349609
64	0.32556152	0.34118652	0.33337402
128	0.32943726	0.33724976	0.33334351
256	0.33138275	0.33528900	0.33333588
512	0.33235741	0.33431053	0.33333397
1024	0.33284521	0.33382177	0.33333349

Iz tabele lahko vidimo, da bi povprečje obeh vsot lahko bilo 1/3, to je da obe zaporedje konvergirata k 1/3, kar se izkaže, da je tudi iskana točna ploščina.

Opomba: Ta način je tudi ena izmed definicij določenega integrala in sicer s pomočjo t.i. Darboux-jevih vsot.