Matematika

Kotne funkcije - Sinus in Kosinus

1. Izpeljava funkcij sinus in kosinus v pravokotnem trikotniku

V koordinatni sistem narišemo enotsko krožnico v središčni legi ter pravokotni trikotnik s točko B v izhodišču in sicer tako, da je pozitivni poltrak abscisne osi v smeri katete a. Smerna vektorja na katetah imenujemo i, j, smerni vektor na hipotenuzi pa je k. (To prikazuje slika 1.)

Slika 1 :

( OPOMBA : Odebeljene pokončne črke označujejo vektorje.)

a = a · i             b = b · j            c  =  c · k

Pravokotna projekcija c na a je kar a, zato je a · c = a² . 

Tedaj je  a²  =   a · c   =  a · c · i · k  =  a · c · cos  x  in

              b²  =  b · c  =  b ·c · j · k   =   b · c · sin x .

Od tod je     cos x =a / c   in   sin x = b / c , oziroma z besedami:

sinus = nasprotna kateta / hipotenuza

kosinus = priležna kateta / hipotenuza .

Slika 2:

Kotu x priredimo točko P na kotomerni krožnici. Tedaj sta cos x in sin x koordinati točke P, kosinus je njena abscisa, sinus pa ordinata.

2. Grafa funkcij sin x in cos x

Kosinus in sinus nastaneta eden iz drugega s premikom za 90^o. Zato bo dovolj graf ene funkcije. Odločimo se za sinus. Sinus je periodična funkcija, njena najmanjša perioda je 2pi.

Graf sinusa narišemo tako, da prenašamo njegove vrednosti iz kotomernega kroga."Hrib" in "dolina" skupaj sestavljata osnovni val. S premiki za večkratnike 2pi raznesemo val nad vso realno premico.

Slika 3:

     Ta programček riše funkcijo y = sin x  

Slika 4:

    Tukaj si oglejmo risanje grafa y = a · sin x + · cos x

3. Lastnosti funkcij sin x in cos x

Kosinus in sinus sta periodični funkciji s periodo 2pi.

Kosinus je soda, sinus pa liha funkcija: cos (-x) = cos x    in     sin (-x) = -sin x

Vsota kvadratov kosinusa in sinusa je konstantna funkcija, čez in čez enaka 1.

  cos² x + sin² x = 1

Tabela posebnih vrednosti obeh funkcij:

 

x	0°	30°	45°	60°	90°
cos x
sin x

Slika 4:

   Z  java programčkom Sin x lahko za dan kot x izračunamo vrednost sin x.

 

Adicijski izrek nam pove, kako se kosinus in sinus vsote dveh kotov izražata z vrednostmi obeh funkcij pri posameznih členih.

cos (x + y)  =  cos x · cos y - sin x · sin y  

cos (x - y)  =  cos x · cos y + sin x · sin y

sin (x + y)  =  cos x · sin y + sin x · cos y

sin (x - y)  =  cos x · sin y - sin x · cos y

 

Kosinus in sinus dvakratnega kota izrazimo s kosinusom in sinusom kota:

cos (2x)= cos² x - sin² x         sin (2x) = 2 · sin x · cos x

 

Sinus je premik kosinusa za pravi kot v desno (sinus je premaknjen kosinus):

sin x = cos (x - 90^o)

 

Premik za 180o spremeni kosinusu in sinusu predznak.

cos (x -  180^o) = - cos x      sin (x -  180^o) = - sin x

Definucija: Kota sta suplementarna, če je njuna vsota enaka  180^o  in komplementarna,če je njuna vsota  90^o. 

 

Kosinusa suplementarnih kotov sta si nasprotna, sinusa suplementarnih kotov sta enaka.

cos (180^o - x) = - cos x      sin (180^o - x) =  sin x

 

Kosinus komplementarnega kota je enak sinusu kota, sinus komplementarnega kota je enak kosinusu kota.

cos (90^o - x) = sin x      sin (90^o - x) =  cos x

 

Faktorizacija:

cos x + cos y  =  2 · cos (½ · (x + y)) · cos (½ · (x - y)) 

cos x - cos y  =  - 2 · sin (½ · (x + y)) · sin (½ · (x - y))

sin x + sin y  =  2 · sin (½ · (x + y)) · cos (½ · (x - y))

sin x - sin y =  2 · cos (½ · (x + y)) · sin (½ · (x - y))

 

Razčlenitev produkta kotnih funkcij:

cos x · cos y = ½ · (cos (x + y) + cos (x - y))

sin x · sin y = - ½ · (cos (x + y) - cos (x - y))

sin x · cos y = ½ · (sin (x + y) + sin (x - y))

 

Kvadrat kosinusa in kvadrat sinusa se racionalno izražata s kosinusom dvojnega kota.

cos² x = ½ · (1 + cos (2x))      sin² x = ½ · ( 1 - cos (2x))

 

Kotne funkcije trojnih kotov:

sin (3x) = 3 · sin x - 4 · sin³ x         cos (3x) =  4 · cos³ x -  3 · cos x

Od tod se vidi, da so kotne funkcije med seboj odvisne: le v eni smemo vrednost poljubno izbrati, druge so s tem že določene do znaka.

4. Primeri

1. Ugotovi morebitno sodost oziroma lihost funkcije

f (x) = (1 - cos x) / (2 · sin x)

Rešitev 1

2. Za katere vrednosti neznanke x  velja enakost sin x + cos x = 1 ?

Rešitev 2

3. Izračunaj točno vrednost izraza (3 · cos x - sin x ) / (2 · cos x + 3 · sin x), če je tg x = 2.

Rešitev 3

  4. Dokaži, da velja enakost cos² x - sin (^o + x) · sin (30^o - x) = ¾

Rešitev 4

5. Izračunaj sin x,  če je sin (½ · x) = 2 / 3 in 0 < x < 90^o 

Rešitev 5