Graf polinoma

Izberimo polinom

p(x) = anxn + a n-1xn-1 + ... + a1x + a0

in zasledujmo njegovo vedenje, ko potuje spremenjivka x vzdolž premice R. Pomagajmo si vsaj do približne predstave o grafu.
Videli smo, da ima polinom stopnje n kvečjemu n realnih ničel. Graf polinoma torej le nekajkrat seče abscisno os ali se je dotakne.

Izrek:
Na intervalu med dvema zaporednima ničlama ohranja polinom predznak.

  1. Kako se vede polinom zelo daleč od niča?

    Vse ničle polinoma leže na na končem intevalu. Vedenje polinoma opazujmo najprej daleč proč od ničel, na poltrakih, ki nosijo točke x z veliko absolutno vrednostjo. Pri velikih |x| prevaga prvi, vodilni člen, pove nam, kako je s predznakom in z naraščanjem polinoma.

    Izrek:
    Polinom lihe stopnje je pri zadosti velikih |x| naraščajoča funkcija istega znaka kot x, če je an pozitiven in padajoča funkcija nasprotnega znaka kot x, če je an negativen.
    Polinom sode stopnje je pri velikih |x| enako predznačen kot an, pri negativnih x pada, pri pozitivnih narašča, če je an pozitiven. Če pa je an negativen, narašča pri negativnih x in pri pozitivnih pada.

  2. Kako se vede polinom v bližini ničle?

    Izrek:
    Pri prehodu čez ničlo sode stopnje ohranja polinom predznak, pri prehodu čez ničlo lihe stopnje pa ga spremeni. V ničli prve stopnje seka graf polinoma abscisno os pod kotom, različnim od 0, v ničli višje stopnje pa se osi dotika tem tesneje, čim večja je stopnja ničle

Z zgoraj navedenimi izreki si pomagamo do približne slike polinoma, ki smo ga že razstavili na nerazcepne faktorje. Vemo, kako se vede pri velikih x in poznamo njegovo vedenje na zadosti majhnih okolicah ničel. Te delčke bolj ali manj posrečeno povežemo, pa zaslutimo, kako se vije graf.

Poglejmo si na primerih.

S pomočjo različnih računalniških programov pa lahko grafe polinomov zelo hitro narišemo. Naj omenim samo nekaj bolj znanih:

Nazaj