Deljivost polinomov

Definicije: V kolobarju polinomov uvedemo relacijo deljivosti z enakimi besedami kot v kolobarju celih števil.
Polinom p deli polinom q natanko tedaj, ko obstoja polinom k, da je q = kp. Brali bomo tudi, da je p delitelj polinoma q.
Polinom je nerazcepen, če iz p = kq sledi, da je na desni en polinom konstanten, drugi pa iste stopnje kot p.

Opomba:
Razcepov, v katerih je faktor konstanten, ne priznavamo.

Zgled:

Na razcepnost in nerazcepnost polinoma močno vpliva kolobar, iz katerega jemljemo koeficiente.
Na primer: Polinoma x2 - 2 ne moremo razcepiti niti med polinomi s celimi , niti med polinomi z racionalnimi koeficienti. V realnem pa gre: x 2 – 2 = (x – 21/2)(x + 21/2).

  • Kako pa razcepimo kvadratni polinom?

    Če je razcepljiv, razpade v dva linearna faktorja. Zaradi lepšega izpostavimo vodilni koeficient in razcepni polinom zapišimo:
    ax 2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2).
    Hitro razpoznamo, da sta x1 in x2 ničli.
    Zato: Kvadratni polinom je v realnem razcepen natanko takrat, ko ima kako realno ničlo.

  • Kaj pa linearni polinom?

    Linearni polinomi ax + b so nerazcepni.

Nazaj