Algebra polinomov

Imejmo funkciji f : x → f(x) in g : x → g(x) obe iz R v R. Njuna vsota f+g, njun produkt fg in množenje z realnim skalarjem c je podana kot:

f + g : x → f(x) + g(x),    fg : x → f(x)g(x),    in cf : x → cf(x).

Vzemimo najprej množico vseh potenc z nenegativnim celim eksponentom x ⁿ. Produkt dveh takih potenc je spet potenca z nenegativnim celim eksponentom x ^m x ⁿ = x ^m+n. Če dovolimo za stopnjo poljubno celo število, sestavljajo potence pri množenju grupo.

Na potence z nenegativnim celimi stopnjami napnimo vektorski prostor. Linearnim kombinacijam takih potenc pravimo polinomi.

Koeficiente polinoma smo vzeli iz obsega R. Lahko pa bi jih omejili le na elemente Q ali celo na elemente Z.

Definicije:	Polinom z realnimi koeficienti je linearna kombinacija potenc z nenegativnim celimi stopnjami p(x)=anxn + a n-1xn-1 + ... + a1x + a0
	Koeficientom ak pravimo koeficienti polinoma
	Koeficientu a0 pravimo svobodni člen polinoma.
	Koeficient pri potenci z najvišjo stopnjo an je vodilni koeficient.
	Stopnjo n pri vodilnem koeficientu imenujemo stopnja polinoma.

Primer:
Najpreprostejši je polinom stopnje 0. To je kar število a₀.
Polinom stopnje 1 je linearna funkcija a₁x + a₀.
Polinom stopnje 2 je kvadratna funkcija a₂x² + a₁x + a₀.
Med polinomi stopnje n je najpreprostejši enočleni polinom, potenca x ⁿ.

Izrek:
Polinoma p(x) = a_nxⁿ + a _n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ in q(x) = b_nxⁿ + b _n-1x^n-1 + ... + b₁x + b₀ sta enaka, če se ujemata stopnji in vsi koeficienti.

Posledica:
Polinomu smemo pripisati toliko členov s koeficienti 0, kolikor čemo.

S polinomi računamo, kakor smo navajeni računati z linearnimi kombinacijami, polinom lahko pomnožimo s številom, dva polinoma seštejemo. Preden dva polinoma seštejemo, dodamo tistemu z nižjo stopnjo toliko členov s koeficientom 0, da bosta navidezni stopnji enaki. Denimo, da smo to že storili in sta polinoma p in q oba stopnje n. Njuna vsota je tedaj:

(p + q)(x) = (a_n + b_n) xⁿ + (a _n-1 + b_n-1) x^n-1 + ... + (a₁ + b₁) x + (a₀ + b₀)

Posledica:
Polinomi z realnimi koeficienti sestavljajo vektorski prostor.

Zgledi

Pozorno si oglejmo stopnje polinomov v vseh treh primerih. Opazimo, da velja:

Izrek:
Stopnja vsote je enaka večji med stopnjama členov, če sta različni. Če pa sta stopnji enaki, je stopnja vsote manjša ali kvečjemu enaka stopnji členov.

Tudi pri množenju dveh polinomov p in q sledimo osnovnim računskim zakonom in pravilu za množenje potenc.

Izrek:
Produkt dveh polinomov je polinom. Stopnja produkta je enaka vsoti stopenj posameznih faktorjev.

Delo pri množenju običajno organiziramo takole:
p najprej pomnožimo s posameznimi členi polinoma q in nato seštejemo člene iste stopnje.

Zgled

Posledica:
Množica polinomov, opremljena z vsoto p + q in s produktom pq, je kolobar.

Nazaj