NEKAJ ZNAMENITIH TOČK TRIKOTNIKA, EULERJEVA PREMICA IN

EULERJEVA KROŽNICA

1. VIŠINSKA TOČKA

Višinska točka trikotnika je presečišče nosilk višin trikotnika. Dokažimo, da višinska točka vedno obstaja, z drugimi besedami, da imajo nosilke višin vedno skupno točko.



Dokaz: Za izhodišče O koordinatnega sistema vzemimo središče trikotniku očrtane krožnice. Naj bodo a, b in c krajevni vektorji oglišč trikotnika.

Velja |a| = |b| = |c|. Dokažimo, da je točka H s krajevnim vektorjem h = a + b + c višinska točka trikotnika ABC.

Oglejmo si skalarni produkt vektorjev BA in CH.

Velja BA · CH = (h-c)·(a-b) = (a+b)·(a-b) = 0. Od tod sledi, da je premica skozi točki H in C
(p(H,C)) nosilka višine na stranico AB. S podobnim premislekom ugotovimo, da točka H leži tudi na nosilki višine na stranico AC in na nosilki višine na stranico BC.

QED

Za aktivno grafično predstavitev klikinite tukaj.

 

2. TEŽIŠČE

Dokazali bomo, da se težiščnice trikotnika sekajo v skupni točki T, ki jo imenujemo težišče trikotnika.



V ta namen najprej vpeljimo pojem Cevove linije in navedimo (brez dokaza) Cevov izrek.

Definicija: Cevova linija je premica, ki poteka skozi oglišče trikotnika, a ni enaka nosilki sosednjih stranic.



Vpeljimo nekaj oznak:

K, L in M naj bodo presečišča Cevovih linij z nosilkami stranic AB, BC in AC (kot na sliki).

In še: k := AK/KB; l :=BL/LC; m :=CM/MA.

Velja naslednji Cevov izrek:

Potrebni in zadostni pogoj za to, da gredo tri Cevove linije danega trikotnika (ki potekajo vsaka skozi svoje oglišče) skozi isto točko ali da so vzporedne je veljavnost zveze k × l × m = 1.

Dokaz (da težišče trikotnika obstaja):

Težiščnice trikotnika so Cevove linije.

Velja k := AC₁/C₁B = 1

l :=BA₁/A₁C = 1

m :=CB₁/B₁A = 1

Te enakosti sledijo iz definicije težiščnice.

Produkt k × l × m je torej enak 1, težiščnice očitno niso vzporedne torej se sekajo v skupni točki – težišču trikotnika.

QED

Za aktivno grafično predstavitev klikinite tukaj.

 

3. EULERJEVA PREMICA TRIKOTNIKA

Naj bo ABC poljuben trikotnik in naj bodo točke A₁, B₁ in C₁ razpolovišča stranic trikotnika, točka T pa težišče. Za izhodišče si izberimo poljubno točko v ravnini (označimo je z O'). a, b in c naj bodo krajevni vektorji oglišč trikotnika.

Velja: CC1 = 1/2(a+b) – c = 3/2 (1/3 (a+b+c) – c).

Točko s krajevnim vektorjem 1/3(a+b+c) označimo s T₁. Zgornja enakost se potem glasi CC₁=3/2 CT₁ in od tod sledi, da T₁ leži na težiščnici t_c.

Velja tudi AA₁ = 3/2 (1/3 (a+b+c) –a) = 3/2 AT₁ in od tod sledi, da točka T₁ leži tudi na težiščnici t_a. S podobnim premislekom ugotovimo, da točka T₁ leži tudi na težiščnici t_b. Točka T₁ je torej težišče T trikotnika.

V posebnem primeru, ko za izhodišče O' vzamemo središče trikotniku očrtane krožnice O velja poleg enakosti
OT = 1/3(a+b+c) še enakost OH = a+b+c, kjer je H višinska točka trikotnika. Težišče torej leži na premici skozi točki O in H.

Dokazali smo izrek:

V poljubnem trikotniku so središče očrtane krožnice, težišče in višinska točka kolinearne točke. Njihova nosilka je Eulerjeva premica, odsek OH pa Eulerjeva daljica. Točki O in H ležita na isti strani točke O in velja še OT = 1/3OH.



Opomba: Če višinska točka H in središče O trikotniku očrtane krožnice sovpadata, Eulerjeva premica ne obstaja.

QED

Za aktivno grafično predstavitev klikinite tukaj.

 

4. EULERJEVA (FEUERBACHOVA) KROŽNICA TRIKOTNIKA

Trditev: Razdalja med razpoloviščem N Eulerjeve daljice in razpoloviščem poljubne stranice trikotnika je r/2, kjer je r polmer trikotniku očrtane krožnice. Krožnico s središčem v N in polmerom r/2 imenujemo Eulerjeva krožnica trikotnika in poteka tudi skozi podnožišča višin trikotnika.



Dokaz: Privzeli bomo oznake, ki smo jih uporabljali do sedaj.

Ker je O središče trikotniku očrtane krožnice, je |a| = |b| = |c| = r.

Velja |NA₁| = |1/2(b+c) – 1/2(a+b+c)| = |-1/2a| = r/2 in podobno

|NB₁| = |1/2(a+c) – 1/2(a+b+c)| = |-1/2b| = r/2 ter

|NC₁| = |1/2(a+b) – 1/2(a+b+c)| = |-1/2c| = r/2.

Dokaz, da Eulerjeva krožnica poteka tudi skozi podnožišča višin, bomo opustili.

QED

 

Za aktivno grafično predstavitev klikinite tukaj.

 

5. MIGUELOVA TOČKA TRIKOTNIKA

Miguelov izrek: Naj bo dan poljuben trikotnik ABC in na vsaki stranici po ena izbrana točka različna od oglišč. Konstruiramo tri krožnice, katerih vsaka poteka skozi eno oglišče in skozi tisti dve od izbranih točk, ki ležita na stranicah, ki se stikata v tem oglišču. Potem imajo vse tri krožnice skupno točko, ki jo imenujemo Miguelova točka trikotnika.

Dokaz: Izbrane točke na stranicah trikotnika označimo z D, E in F (tako kot na sliki).

1. Obravnavajmo najprej primer, ko se krožnici K(A,D,F) in K(B,E,D) sekata v dveh točkah – poleg v točki D še v točki, ki jo označimo z M.
   Denimo najprej, da točka M leži v notranjosti trikotnika ABC.

 

Štirikotnik ADMF je tetiven (njegove stranice so tetive iste krožnice), zato velja < DMF = p - a . Štirikotnik BDME je prav tako tetiven, zato velja tudi < DME = p - b .
Sledi < EMF = 2p - (p - a + p - b ) = a + b = p - g . Štirikotnik CEMF je torej tudi tetiven (velja: štirikotnik je tetiven natanko tedaj, ko sta nasprotna kota suplementarna) in zato krožnica, ki poteka skozi točke C, E in F vsebuje tudi točko M.

Denimo sedaj, da točka M leži zunaj trikotnika ABC.

Velja < DBE = < DME = b , saj gre za obodna kota nad istim lokom.
Podobno < FAD = < FMD = a . Sledi < FME = a + b = p - g in od tod tetivnost štirikotnika CEMF. Točka M torej tudi v tem primeru leži na krožnici skozi točke C, F in E.

2. Ostane nam še primer, ko se krožnici K(A,D,F) in K(B,E,D) samo dotikata.

Očitno je dotikališče točka D. Izkaže se, da je tudi v tem primeru štirikotnik CEMF tetiven, zato tudi krožnica skozi točke C, E in F vsebuje točko D.

QED

[Domov]   [Nazaj]