Nazaj na uvodno stran
 		   Konec

Ogledali si bomo nekaj značilnih preslikav ravnine nase.

Vzporedni premik ali translacija za vektor u=(a, b) vsaki točki A(x,y) priredi točko A'(x', y'), tako da je : 
x' = x + a
y' = y + b
Primer
(V vektorski obliki: r' = r + u, kjer je r krajevni vektor točke A, r' pa krajevni vektor točke A'.)

Vzporedni premik grafa:

Graf funkcije f : A →R (kjer je A pod R) je množica točk

{(x, f(x));x є A}={(x, y); x є A in y = f(x)}.

Vzporedno premaknimo ta graf za vektor (p,q). Če je (x,y) točka na premaknjenem grafu, je (x-p, y-q) točka na grafu za f in tedaj velja

y =f(x-p)+q.

Primer:Na primeru si oglejmo, kaj se zgodi s funkcijo f(x) = x4, če jo premaknemo za poljuben vektor (p, q).

Če graf funkcije f transliramo za vektor (0, q), temu rečemo premik v smeri osi y, množica dobljenih točk pa zadošča enačbi

y=f(x)+q.

Potem je premik v smeri osi x translacija za vektor (p, 0), dobljeni graf pa ima enačbo

y=f(x-p).

Osni razteg:

V ravnini imamo premico p. Naj bo k od 0 različno število. Osni razteg z osjo p in faktorjem k je preslikava ravnine nase, ki vsaki točki A priredi točko A', da je

QA' = k QA ,

kjer je Q pravokotna projekcija točke A na premico p.

Pri tem ravnino raztegnemo v smeri pravokotno na os. Točke na osi pa pri tej tansformaciji ostanejo negibne.

Če je k=1, je A'=A za vsak A. Torej je osni razteg s faktorjem 1 identiteta.

Za k ≠ 1 so edine točke, ki pri osnem raztegu ostanejo negibne, točke na osi raztega.

Osni razteg s faktorjem −1 je zrcaljenje čez os p.

Postavimo koordinatni sistem tako, da je os raztega kar os y. Potem točka A(x,y) preide v točko A'(kx,y):

(x,y)→ (kx,y).

Razteg grafa:

Graf funkcije f se raztegne za faktor a v smeri osi y, če drugo koordinato pomnožimo z a. Zato ima graf raztegnjene funkcije enačbo

y = a f(x).

Enačba

y = f(kx)

pa predtavlja graf funkcije f, raztegnjen v smeri osi x.

Primer:Oglejmo si, kaj se dogaja z enačbo linearne funkcije, če jo raztegujemo za faktor k ter transliramo za n v smeri osi y.

Zrcaljenje

Zrcaljenje čez abscisno os vsaki točki A(x,y) priredi točko A'(x, -y).

Zrcaljenje čez ordinatno os vsaki točkiA(x,y) priredi točko A'(-x,y).

Zrcaljenje čez izhodišče točki A(x,y) priredi točko A'(-x, -y).Točko s krajevnim vektorjem r torej preslika v točko s krajevnim vektorjem r' = -r.

Zrcaljenje čez premico z enačbo x = a točki A(x,y) priredi točko A'(2a-x,y). Aritmetična sredina prvih koordinat točk A in A' je namreč ravno a.

Zrcaljenje čez premico z enačbo y=b točki A(x,y) priredi točkoA'(x, 2b-y). Aritmetična sredina koordinat točk A in A' je namreč ravno b.

Zrcaljenje čez točko T(a,b) priredi točki A(x,y) točko A'(2a-x,2b-y). Točko s krajevnim vektorjem r torej preslika v točko s krajevnim vektorjem 2OT − r.

Primer

Vaje

I. Dan je trikotnik z oglišči A(1, 2), B(-1, 3), C(0, -1). Določi oglišča novega trikotnika A'B'C', če ga :
 
1. vzporedno premaknemo za vektor (7, 5) 

        

            



        









2. prezrcalimo čez abscisno os


      
   


        

            



        









3. prezrcalimo čez ordinatno os


      
   


        

            



        









4. prezrcalimo čez koordinatno izhodišče


      
   


        

            



        









5. prezrcalimo čez točko E(2,
3)


      



        

            



        

 

  






6. prezrcalimo čez premico x=2


      


        

            



        








7. prezrcalimo čez premico y=x





        

            



        










  

 

II. Transformacija U
preslika točko (x, y) v točko
(4
− x, y), kjer sta x , y  є 
R poljubna. Določi vse točke, ki
jih U ohranja.
      



        

            



        







III. Graf funkcije f(x)=x+3 vzporedno
premaknemo za vektor (-1, -2).
Določi enačbo dobljene premice.
      


        

            



        

   




IV. Premico z enačbo 2x + 3y-5
= 0 prezrcali čez os x
in določi enačbo dobljene premice.






        

            



        












Začetek

 












© Tanja
Pavlinič 2000