Pri dokazovanju bomo uporabili metodo dopolnjevanja do popolnega kvadrata.

ax² + bx + c = 0

x² + (b/a)x + c/a = 0

(x² + (b/a)x + (b/2a)²) - (b/2a)² + c/a = 0

(x + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0

(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a

(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²

Vemo, da je 4a² > 0.

Če je b² - 4ac < 0 sledi, da je (b² - 4ac)/4a² < 0.

To pomeni, da ne obstaja nobeno realno število x, ki bi rešilo enačbo. Torej (i) velja.

Če je b² - 4ac = 0, potem je (x + b/2a)² = 0 Torej iz x+ b/2a = 0 sledi, da je x = -b/2a. Zato velja tudi (ii).

Če je b² - 4ac > 0, je (b² - 4ac)/4a² > 0 in obstajata dve realni števili:

katerih kvadrat je enak (b² - 4ac)/4a².

Od tod sledi, da je:

x =
x =

Torej drži tudi (iii).

Vrni se na iskanje ničel.