Evklidska Geometrija

 Beseda geometrija izvira iz grščine (Gea - zemlja, metros - merjenje) in dobesedno pomeni zemljemerstvo. Ta matematična veda je posvečena proučevanju prostora, oblike ter velikosti različnih likov in teles, ki se v njem nahajajo.

Zgodovinski okvir

 Prve geometrijske pojme zasledimo že pri narodih, ki so pred več tisočletji živeli v Egiptu in Mezopotamiji. Tamkajšnje velike reke so vsako leto poplavile rodovitne doline in zbrisale meje med posameznimi območji, ki jih je bilo nato potrebno obnoviti. To so lahko naredili le ljudje, ki so znali natančno meriti, risati in računati.

Od 7. stoletja pred našim štetjem se je geometrija intenzivno razvijala v anitični Grčiji, kamor so jo iz Egipta prinesli trgovci. Približno v 5. stoletju pred našim štetjem sta se izoblikovala pojma trditve in njenega strogega dokaza. Pomembne zasluge za to so imeli predvsem Hipokrat, Evdoks in Arhit. V 3. stoletju pred našim štetjem je bilo nakopičenega že toliko gradiva in različnih metod, da so se pojavili prvi poskusi združitve geometrijskih znanj v enoten sistem. Najznamenitejši geometer tedanjega časa, Platonov učenec Evklid , je ustvarjal v Aleksandriji okoli leta 300 pred našim štetjem.

Evklidovi elementi

Evklidovo glavno delo Osnove (včasih se naslov Stoihea prevaja tudi kot Začetki ali Evklidovi elementi) štejejo trinajst knjig, od katerih so peta, sedma, osma, deveta in deseta pretežno posvečene aritmetiki, podani v geometrijski obliki, druge pa dejansko govorijo o geometriji.

V prvi knjigi najdemo pogoje za skladnost dveh trikotnikov in enakost njunih ploščin, odnose med stranicami in koti ter pojem vzporednic. Druga knjiga je posvečena transformaciji mnogokotnika v kvadrat z enako ploščino. Tretja knjiga govori o krožnici, četrta pa o včrtanih in očrtanih mnogokotnikih. Šesta knjiga je posvečena podobnosti mnogokotnikov, v zadnjih treh knjigah pa najdemo osnove stereometrije. Neelementarne geometrije, ki so jo tedaj že poznali (naprimer stožnice), Evklid v tem delu ni obravnaval.

Prva knjiga: definicije , postulati in aksiomi

Prvo knjigo Osnov pričenja Evklid s 23 definicijami osnovnih geometrijskih pojmov, naprimer:

Definicija 1

Točka je tisto kar nima delov.

Definicija 2

Črta je dolžina brez širine.

Definicija 3

Meji črte sta točki.

Definicija 4

Premica je črta, ki je v enakem odnosu z vsemi svojimi točkami.

Definicija 5

Ploskev je tisto, kar ima samo dolžino in širino.

Definicija 6

Meje ploskve so črte.

Definicija 7

Ravnina je ploskev, ki je v enakem odnosu z vsemi svojimi premicami.

Definicija 8

Ravninski kot je naklon dveh črt v ravnini, ki se sekata in ne ležita na skupni premici.

Definicija 9

Kot je ravninski kot med premicama.

Definicija 10

Če premici, ki se sekata, razdelita ravnino na dva enaka kota, sta oba kota prava kota.

Definicija 11

Topi kot je kot, ki je večji od pravega kota.

Definicija 12

Ostri kot je kot, ki je manjši od pravega kota.

Ti dokaj naivni opisi služijo zgolj nazornosti pričevanja in nikjer v dokazih svojih trditev jih Evklid ne uporablja. Sledijo tako imenovani postulati in aksiomi. Delitev nanje je pogojna (opazne razlike med njimi ni). Poleg tega se v posameznih prepisih pojavljajo določene razlike. Najbolj je razširjena naslednja inačica:

Postulat1

Za poljubni dve točki obstaja črta, ki ju povezuje.

Postulat2

Vsako črto lahko neomejeno podaljšujemo na obe strani.

Postulat3

Poljubna točka je lahko središče krožnice s poljubnim polmerom.

Postulat4

Vsi pravi koti so enaki.

Postulat5

Če poljubni dve premici sekamo s tretjo premico in je vsota notranjih kotov, ki ju dobimo na eni strani te premice (prečnice), manjša od dveh pravih kotov, potem se prvi dve premici sekata na tej strani tretje premice.

Aksiom 1

Če je vsaka od dveh dolžin enaka tretji, potem sta ti dve dolžini enaki.

Aksiom 2

Če dvema enakima dolžinama prištejemo dve enaki dolžini, dobimo dve enaki dolžini.

Aksiom 3

Če od dveh enakih dolžin odštejemo dve enaki dolžini, dobimo dve enaki dolžini.

Aksiom 4

Če dvema različnima dolžinama prištejemo dve enaki dolžini, dobimo dve različni dolzini.

Aksiom 5

Če sta dve dolžini enaki, sta enaka tudi dvakratnika teh dolžin.

Aksiom 6

Če sta dve dolžini enaki, sta enaki tudi polovici teh dolžin.

Aksiom 7

Če eno dolžino lahko nanesemo na drugo, sta ti dve dolžini enaki.

Aksiom 8

Del je manjši od celote.

Aksiom 9

Dve premici ne moreta omejevati prostora.

Sledijo v logičnem zaporedju navedeni izreki, ki iz teh trditev izvirajo. Dokazani so z zavidanja vredno strogostjo, ki je služila za vzor mnoga stoletja. Za ilustracijo lahko navedemo podatek, da so Osnove po letu 1450 doživele preko 500 izdaj v skoraj vseh svetovnih jezikih, s čimer se ne more ponašati nobena druga znanstvena knjiga.

Kljub temu velja pripomniti, da z današnjega stališča aksiomi in postulati, ki jih je Evklid izbral, niso brez pomanjkljivosti, ki so ga pri dokazih večkrat silile, da se je opiral na lastno intuicijo. Tako samo z njimi ni mogoče strogo definirati naprimer naslednjih pomembnih odnosov:

Evklidov nauk je kljub temu veljal v geometriji za absolutno resnico dlje kot Ptolomejeva teorija o geocentričnem sistemu v astronomiji. Šele Nikolaju Lobačevskemu (1793-1856) in približno istočasno Carlu Gaussu (1777-1855) se je posrečilo zgraditi popolnoma novo geometrijo, v kateri peti Evklidov postulat ni izpolnjen, veljajo pa vsi drugi postulati in aksiomi.

Cela vrsta do danes vpeljanih bistveno različnih geometrij je predmet proučevanja številnih strokovnjakov s področja matematike, naravoslovnih ved, tehnike in celo umetnosti. Evklidov nauk pa predstavlja tisti del geometrije, ki sodi v spločno izobrazbo sodobnega človeka.

Zaključimo z antično anekdoto, namenjeno skrajnim pragmatikom. Neki nov učenec je Evklidu zastavil vprašanje: "Kaj bom pridobil, če se naučim vseh teh reči?" Evklid je poklical sužnja in mu naročil: "Daj gospodu kovanec, ker mora z učenjem nekaj zaslužiti!"

12.6.1997, Anita Močnik