PITAGOROV IZREK

[Izreki o skladnosti][Vaje]

Pitagorov izrek:

V vsakem pravokotnem trikotniku je ploščina kvadratov, katerih stranici ustrezata krajšima stranicama trikotnika (kateti) enaka ploščini kvadrata s stranico, ki ustreza daljši stranici trikotnika (hipotenuza), ali na kratko a²+b²=c².

---

Programček prikazuje geometrično rešitev Pitagorovega izreka. S pomočjo gumbov NAPREJ, NAZAJ in PONOVI po korakih spremljamo dokaz. Če želimo ponoviti zadnji korak, enostavno pritisnemo na sliko oziroma na besedilo.

Sedaj si oglejmo natančnejši geometrijski dokaz Pitagorovega izreka.

Evklidov dokaz Pitagorovega izreka:

Nad stranicami pravokotnega trikotnika konstruirajmo kvadrate. Določimo točko E tako, da je daljica CE pravokotna na daljici AB in PQ.

1. p(APED) = 2 p(CAP) (pravokotnik in trikotnik imata isto bazo AP in isto višino AD).

2. p(ACUV)=2 p(VAB) (kvadrat in trikotnik imata isto bazo VA in isto višino AC).

3. Kot VAD je enak kotu PAC. To vidimo takole: kot VAC je enak kotu PAD (oba kota sta prava) in kot CAD je enak kotu DAC. Torej s seštevanjem kotov dobimo kot VAD je enak kotu PAC.

4. Opazimo še, da je |VA|=|AC| (ker je ACUV kvadrat) in |AB|=|AP| (ker je PQBA kvadrat). Po točki 3. in izreku o skladnih trikotnikih (sks), sta si trikotnika VAB in CAP podobna in zato velja p(VAB)=p(CAP). S pomočjo tega dejstva in točk 1. in 2. sledi, da je p(APED)=p(ACUV). Analogno dokažemo, da je p(DEQB)=p(CBRS). Od tod pa sledi trditev, da je ploščina kvadrata nad hipotenuzo enaka vsoti ploščin kvadratov nad katetama.

[Izreki o skladnosti][Vaje]