Eulerjeva premica in

krožnica devetih točk

Slike, ki jih imamo pred seboj so interaktivne. Torej če primemo in premaknemo katero od oglišč A, B ali C na sliki, se vse te točke in premice premaknejo. Več informacij o teh slikah lahko dobite tukaj ali pa na naslovu http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/Geometry/Geometry.html.

Definirali bomo pojme težiščnice in težišča, višine in višinske točke, srednjice in središča očrtanega kroga ter vse skupaj povezali z eulerjevo premico. Ogledali si bomo tudi zanimivo krožnico, ki gre skozi devet pomembnih točk na trikotniku. Imenuje se Eulerjeva krožnica, ali pa krožnica devetih točk. Na koncu pa bomo povedali še nekaj besed o Leonhardu Eulerju.

Definicija: Težiščnica trikotnika je daljica, ki veže oglišče trikotnika z razpoloviščem nasprotne stranice.

Naj bodo A', B', C' v tem vrstnem redu razpolovišča stranic BC, CA, AB trikotnika ABC. Daljice AA', BB' in CC' so težiščnice trikotnika ABC. Na sliki so zelene barve.

Izrek: Vse tri težiščnice se sekajo v točki T, ki jo imenujemo težišče trikotnika. Težiščnice se sekajo v dveh tretjinah svoje dolžine od oglišča.

Dokaz: Daljici AA' in BB' sta težiščnici trikotnika ABC. Njuno presečišče označimo s točko T. Trikotniku ABT narišimo srednjico PQ, ki vzporedna stranici AB in meri polovico dolžine stranice AB. (Srednjica trikotnika povezuje dve razpolovišči stranic v trikotniku. Srednjica trikotnika je vzporedna tretji stranici, njena dolžina pa je polovica dolžine te stranice.) To je obenem dolžina daljice B'A', ki je srednjica trikotnika ABC in prav tako vzporedna stranici AB. Zato je štirikotnik PQA'B' paralelogram. Daljici PA' in QB' sta diagonali paralelograma in se razpolavljata. Torej je dolžina daljice A'T enaka dolžini stranice TP in torej tudi dolžini stranice PA. Točka T tako odreže od obeh težiščnic natanko eno tretjino (oziroma dve tretjini). Tudi težiščnica iz oglišča C mora od drugih dveh odrezati eno tretjino. Zato mora iti skozi točko T. Izrek je torej dokazan.

Uvod , Središče očrtanega kroga , Višinska točka , Eulerjeva premica , Eulerjeva krožnica , Leonhard Euler (1707-1783) .

Zamislimo si poljubno krožnico s središčem S in poljubni dve točki na njej. Ti dve točki sta enako oddaljeni od S, zato je S točka na simetrali tetive skozi ti dve točki.

Vzemimo, da so A, B in C tri nekolinearne točke v ravnini in radi bi konstruirali krožnico, ki vsebuje te tri točke.

Središče te krožnice mora ležati na simetralah daljic AB in BC. Presečišče O teh dveh simetral je središče iskane krožnice. Ta krožnica je očrtana krožnica trikotniku ABC, točka O pa je središče očrtanega kroga. Seveda gre tudi simetrala tretje stranice trikotnika skozi točko O. Na sliki so simetrale, očrtana krožnica in središče očrtane krožnice črne barve. Če je trikotnik ostrokoti, potem leži O znotraj trikotnika, pri topokotih trikotnikih pa zunaj trikotnika. Če je trikotnik pravokoten, potem središče očrtanega kroga sovpada z razpoloviščem hipotenuze trikotnika. Vse to lahko preverimo, če ustrezno premikamo oglišča trikotnika ABC.

Uvod , Težišče trikotnika , Višinska točka , Eulerjeva premica , Eulerjeva krožnica , Leonhard Euler (1707-1783) .

Definicija: Višina trikotnika je pravokotnica na stranico trikotnika, ki gre skozi nasprotno oglišče trikotnika.

Višina na stranico AB je pravokotna na stranico AB in poteka od oglišča C do nožišča M, ki leži na stranici AB. Višina na stranico BC je pravokotna na stranico BC in poteka od oglišča A do nožišča K, ki leži na stranici BC. Višina na stranico AC je pravokotna na stranico AC in poteka od oglišča B do nožišča L, ki leži na stranici AC. Točko, v kateri se sekajo vse tri višine trikotnika, imenujemo višinska točka in jo označimo s H. Višine so na sliki modre barve.

Uvod , Težišče trikotnika , Središče očrtanega kroga , Eulerjeva premica , Eulerjeva krožnica , Leonhard Euler (1707-1783) .

Težišče , središče očrtanega kroga in višinska točka so kolinearne točke in ležijo na premici, ki jo imenujemo eulerjeva premica, daljico OH pa eulerjeva daljica. Eulerjeva daljica je na sliki rdeče barve.

Pokazati se da, da sta središče očrtanega kroga O in višinska točka H zmeraj krajni točki daljice. Težišče T leži med točkama O in H in tretjini daljico v razmerju OT:OH=1:3.

Točke O, T in H sovpadajo le v primeru, ko je trikotnik ABC enakostraničen. Takrat eulerjeva premica in daljica ni določena.

Razpolovišče eulerjeve daljice označimo z N. Eulerjeva krožnica je krožnica, s središčem v točki N in radijem, ki je enak polovici radija očrtanega. Eulerjeva krožnica je na sliki rdeče barve.

Opazimo, da gre eulerjeva krožnica skozi devet pomembnih točk, zato je drugo ime zanjo tudi krožnica devetih točk. Eulerjeva krožnica gre skozi vsa razpolovišča stranic trikotnika, torej skozi točke A', B' in C'. Krožnica gre tudi skozi vsa nožišča višin, torej skozi točke K, L in M. Če razpolovišče daljice od točke A do točke H označimo z A* in če podobno označimo tudi točki B* in C*, potem opazimo, da gre eulerjeva krožnica tudi skozi te točke.

Uvod , Težišče trikotnika , Središče očrtanega kroga , Višinska točka , Eulerjeva premica , Leonhard Euler (1707-1783) .

	Leonhard Euler je bil eden največjih matematikov osemnajstega stoletja in najboljši švicarski matematik. Prispeval je veliko novih odkritij na skoraj vseh področjih matematike.

Rojen je bil v Baslu v Švici, 15. aprila 1707. Njegov oče je bil kalvinistični duhovnik in tudi matematik. Želel je, da tudi njegov sin postane duhovnik. V osnovi je Leonhard tudi izpolnil njegovo željo. Diplomiral je na Univerzi v Baslu leta 1724 iz teologije in hebrejščine. Med tem časom pa je imel privatne ure matematike pri Johannu Bernoulliju. Johann je bil navdušen nad Leonhardovim znanjem matematike in je prepričal njegovega očeta, da dopusti sinu, da postane matematik.

Leta 1727 je dobil mesto na Akademiji znanosti v St. Petersburgu v Rusiji. Šest let kasneje pa je postal profesor matematike. Med tem se je poročil. V času svojega življenja je imel trinajst otrok, pet jih je odraslo. Ker je tri dni in noči reševal problem iz nekega matematičnega tekmovanja, je izdubil vid na eno oko. Zaradi neugodnega političnega režima in raznih intrig se je preselil v Berlin in nato spet šel nazaj v Rusijo. Leta 1766 je popolnoma oslepel, vendar je svoja matematična dela nadaljeval in jih narekoval svojemu tajniku. Umrl je v St. Petersburgu 7. septembra 1783 zaradi kapi.

Euler je imel svoje prispevke na vseh področjih matematike, ki so tedaj obstajala. Standardiziral je moderno matematično pisavo z uporabo simbolov kot so f(x), e, i v svojih zapiskih. Bil je prvi, ki je predstavil trigonometrične vrednosti v obliki ulomkov in je pokazal da je število e iracionalno število. Na področju verjetnosti je dokazal splošno metodo reševanja maksimalnih in minimalnih vrednostih določenega problema. V fiziki je razvil splošne enačbe za hidrodinamiko in gibanje. Bil je tudi eden prvih, ki je ugotovil, da morajo biti neskončne vrste konvergentne, da jih lahko varno uporabljamo. Njegovo najbolj impresivno delo je bila aproksimacija problema treh teles, to je Sonca, Zemlje in Lune, ki ga je rešil popolnoma slep.

Več podatkov o Leonhardu Eulerju lahko dobite na naslovu http://www.shu.edu/~wachsmut/reals/history/euler.html.

Uvod , Težišče trikotnika , Središče očrtanega kroga , Višinska točka , Eulerjeva premica , Eulerjeva krožnica .