Roka – prvi raèunski stroj

Seminar pri predmetu Razvoj matematike in raèunalni¹tva

Vsebina

• Uvod
• Sklepanje kupèij
• ©tetje kosti ali èlenkov prstov
• Mora – ¹tevilska igra s prsti
• Raèunanje s prsti
• Razdelan naèin ¹tetja na prste
• Literatura in viri

Uvod

Arheolo¹ke najdbe nam ka¾ejo, da so ¹tetje s pomoèjo prstov uporabljali v Egiptu ¾e v Starem kraljestvu v 26. stoletju pred na¹im ¹tetjem. Nameni so bili administrativne narave, kot je merjenje kolièine ¾ita. Stari Grki so nam zapustili nekaj pisnih virov, ki nam govorijo o vrednostih in uporabi razliènih znakov s prsti v vsakdanjem ¾ivljenju. Rimljani so uporabljali posebne ko¹èene ¾etone, imenovane tesserae, kot potrdilo o plaèanem davku. Na eni strani je bila zapisana rimska ¹tevilka, na drugi strani pa narisana roka, ki je s prsti kazala isto ¹tevilo. Rimski retorik Kvintilijan (35–95) je v prvi knjigi Institutio Oratoria ali „Pouk govorni¹tva” zatrdil, da je poznavanje ¹tevil nujno potrebno vsakomur, pa èeprav se ¹ele seznanja s pisanjem. Tisti pravnik, ki pa poka¾e negotovost pri ¹tetju na prste, takoj zapusti slab vtis o svojih sposobnostih.

Vse to nas seznani z veliko raz¹irjenostjo oznaèevanja ¹tevil s prsti v tistih èasih. ©tetje na prste pa je bilo poznano tudi med Azteki, Kitajci, Indijci, Perzijci, Turki in Arabci. V srednjem veku so ga uporabljala tudi ljudstva v Evropi. ©e pred 400 leti so bili naèini ¹tetja na prste natanèno opisani tudi v matematiènih uèbenikih. Primer iz 15. stoletja vidimo na sliki 1.

Slika 1: ©tetje na prste iz knjige Luce Paciolija: Summa de Arithmetica,
Geometrica, Proportioni e Proportionalita ali „Celotna aritmetika,
geometrija, obsegi in sorazmerja”, izdane leta 1494 v Benetkah.

Razlièni naèini ¹tetja, ki so se uporabljali v razliènih krajih sveta nam ka¾ejo tudi na razliène potrebe in namene uporabe. Podobnosti med njimi pa nam predlagajo mo¾ne stike in vplive med takratnimi ljudstvi.

Sklepanje kupèij

Na otoku Bahrein v Perzijskem zalivu je v zaèetku tega stoletja kupèija med preprodajalci biserov in domaèini potekala na podoben naèin: barantaèa sta se usedla drug drugemu nasproti in se prijela z desnima rokama. Z levima rokama sta èez desni roki dr¾ala prt, tako da so bili gibi skriti. Kupèija z vsemi nestrinjanji in nasprotovanji vred je potekala v ti¹ini in ravnodu¹no. Vsaka najmanj¹a èustvena reakcija se je ¹tela za slabo.

Podobne naèine barantanja so poznali (in jih ponekod ¹e uporabljajo) v Siriji, Iraku, Arabiji, Indiji, Mongoliji in Al¾iriji. V kitajski pokrajini Kansu poteka kupèija tako, da da kupec roko v trgovèev rokav. Med pogovorom s prsti poka¾e vrednost, prodajalec pa mu pove, ali se s ponujeno ceno strinja, ali ne. Vrednosti prijemov oziroma znakov s prsti nam ka¾e razpredelnica 2.

©tetje kosti ali èlenkov prstov

Podobno je do 28 ¹tel in raèunal tudi èastiti (Venerable) Bede (672–735), angle¹ki duhovnik, ki je imel velik vpliv v evropskih znanstvenih krogih srednjega veka. Raèunal je prestopne dneve (in leta) v 28-letnem sonènem ciklu julijanskega koledarja. Pomemben namen uporabe je bilo doloèanje datuma velike noèi. V ta namen je uporabljal èlenke prstov. ©teti je zaèel na spodnji strani leve roke na vrhu mezinca (1), nadaljeval do kazalca (4), potem po srednjih èlenkih nazaj do mezinca (8) in po spodnjih do kazalca (12). Zaporedje je na dlani opisalo veliko èrko S. Nadaljeval je na desni roki, le da je zaèel na vrhu kazalca (13) in pristal na spodnjem èlenku mezinca (24), spet v obliki èrke S. Ostala sta mu ¹e po dva èlenka na vsakem palcu: levi palec od korena proti konici (25-26) in podobno desni palec (27-28).

Za ¹tetje 19 let luninega cikla, ko padejo lunine mene spet na isti datum, pa je uporabil drugaèen naèin. ©tel je èlenke in nohte na levi roki (na zgornji strani). Zaèel je s spodnjim èlenkom palca (1), do nohta palca (3), nadaljeval na kazalcu (4-5-6-7), vse do nohta mezinca (19), vsakokrat v smeri proti nohtom.

Dolgo èasa se je uporabljalo podobno ¹tetje v severni Indiji, ¹e danes pa je v uporabi na Bengalskem in v Banglade¹u. O njem je poroèal francoski popotnik Jean Baptiste Tavernier leta 1679 v Voyages en Turquie, en Perse et aux Indes ali „Potovanja po Turèiji, Perziji in Indiji”. ©teje se èlenke na spodnji strani desne roke. Zaène se pri korenu mezinca (1), do vrha mezinca (3), nadaljuje na prstancu (4-5-6), vse do vrha kazalca (12). Palec pomeni tri enote: del na dlani (13), spodnji èlenek (14) in zgornji èlenek (15). Naèin se je uporabljal tudi med indijskimi trgovci v 18. stoletju, ko so se pod obleko dogovarjali o ceni z dotikanjem èlenkov.

Dopolnjen naèin se ¹e vedno uporablja pri molitvi v muslimanskih de¾elah Azije in severne Afrike. ©teje se na zgornji strani rok z obema rokama, zaènemo z levo roko. Tako pridemo do 30, oziroma do 33, èe ¹tejemo ¹e konice mezinca, prstanca in sredinca na desni roki (v tem vrstnem redu). Verniki, ki ¾elijo v raj, morajo poznati vseh 99 Alahovih imen, zato trikrat ponovijo postopek ¹tetja molitev na obeh rokah. V podoben namen se danes uporablja ro¾ni venec, a èe tega ni, se ¹teje na prste.

V Indiji, Indokini, Pakistanu, Iranu, Turèiji, Iraku, Siriji in Egiptu se ¹e uporablja dvanajsti¹ki naèin ¹tetja. ©tejemo kosti prstov na desni roki od vrha mezinca (1) proti korenu (3) in naprej vse do kazalca (10-11-12). ©tevilo poka¾emo s palcem desne roke. Izvor tega naèina najdemo morda v preteklosti v uporabi pomo¾ne ¹tevilske osnove 12 poleg 10. Stari Egipèani so delili dan na 12 „ur” svetlobe in 12 „ur” teme. Njihove „ure” so trajale razlièno dolgo, paè glede na letni èas. Sumerci, Asirci in Babilonci so razdelili dan na 12 enakih delov (imenovali so jih danna), ki so predstavljali vsak po dve dana¹nji uri. Polni kot so razdelili na 12 delov po 30° (imenovanih beru). ©tevilu 12, in z njim njegovim deliteljem in veèkratnikom, so torej pripisali posebno vlogo pri merjenjih in raèunanju. Rimljani so svojo denarno, aritmetièno in masno enoto as delili na 12 unè. Vse to nam ka¾e pomembno vlogo ¹tevila 12 v zgodovini èlove¹tva. Nenazadnje imamo zanj v razliènih jezikih ¹e vedno posebno ime: tucat.

Razlièico dvanajsti¹kega sistema nam predstavlja ¹estdeseti¹ki sistem ¹tetja. Desna roka ¹teje do 12 kot do sedaj, na levi pa z vsakim prstom zaznamujemo prehod ene dvanajstice. Ko pre¹tejemo do 12, skrèimo levi mezinec, ob 24 skrèimo ¹e prstanec, in tako vse do 60, ko skrèimo ¹e levi palec. Ta naèin je ¹e v uporabi v delih Turèije, Iraka, Irana, Indije in Indokine. Zato je mo¾no, da so ga poznali tudi Sumerci, ki so uporabljali poleg osnove 10 ¹e veliko ¹tevilsko osnovo 60 in pomo¾no osnovo 12 (zaradi njegovih deliteljev 2, 3, 4 in 6). To seveda ne potrjuje izvora ¹estdeseti¹kega sistema in je le hipoteza, osnovana na antropolo¹kih raziskavah.

©e bolj matematièno zanimiv pa je naèin ¹tetja na èlenke prstov, v uporabi na Kitajskem v 19. stoletju. Pri njem je vsak èlenek razdeljen na tri dele: levega, srednjega in desnega. Vsakemu prstu desne roke je dodeljenih 9 vrednosti deseti¹kega sistema: mezincu enice, prstancu desetice, sredincu stotice, kazalcu tisoèice in palcu stotisoèice. ©teti zaènemo na levi strani prsta zgoraj (1) do spodnjega dela (3), preidemo na srednji del proti vrhu prsta (4-5-6) in zakljuèimo na desni strani proti korenu (7-8-9). S tem naèinom lahko ¹tejemo do 100000 z eno roko (100000 predstavimo z vrhom palca).

Mora – ¹tevilska igra s prsti

Igralca si stojita nasproti z dvignjenima zaprtima pestema. Ob znaku poka¾eta poljubno ¹tevilo prstov in napovesta ¹tevilo med 1 in 10. Èe igrata z obema rokama, lahko napovesta vrednosti do 20. Igralec, ki pravilno napove vsoto vseh stegnjenih prstov, dobi toèko. Igra ne vkljuèuje le sreèe, ampak tudi igralèevo intuicijo, opazovanje in spretnost.

Mora je ¹e vedno precej raz¹irjena v Italiji, najdemo jo pa tudi v jugozahodni Franciji, na baskovskem podroèju ©panije, na Porugalskem in Maroku. Na Kitajskem in v Mongoliji je poznana razlièica tsin hoa kiuen, ki se igra v veèji skupini, kjer mora pora¾enec vsakokrat popiti skodelico èaja. Nato z njim igra naslednji.

O priljubljenosti igre v Italiji in Franciji nam govorijo pisni viri renesanènih avtorjev pa tudi starej¹i, saj nam ¾e 15 stoletij prej Cicero pove o raz¹irjenosti more (takrat imenovane micatio) med preprostimi Rimljani. Igro so uporabljali tudi v primerih trgovskih sporov, ko se niso uspeli dogovoriti o primerni ceni. Uporabljali so jo tako, kot danes kovanec za nakljuèno izbiro ene od dveh mo¾nosti.

Moro so igrali tudi v stari Grèiji, kot nam prikazujejo razliène poslikane posode. Legenda pravi, da si je igro izmislila Helena iz Troje, da bi jo igrala s svojim ljubimcem Parisom. O neki podobni igri prikazovanja ¹tevil s prsti nam pripovedujejo tudi slike iz grobnic pri Tebah, kar pomeni, da so jo poznali ¾e stari Egipèani v Srednjem kraljestvu (21. do 17. stoletje pred na¹im ¹tetjem). Konèno pa je bila mora (poznana kot moukharaja) igrana v tradicionalni obliki v predelih Arabije, Sirije in Iraka ¹e v zaèetku tega stoletja, ne vedno v zabavo, ampak tudi za razdelitev predmetov ali dobièka.

Raèunanje s prsti

Èe ¾elimo zmno¾iti 8 krat 6, z eno roko prika¾emo prese¾ek èez 5 za 8, tako da skrèimo tri prste, z drugo pa za 6 (skrèimo en prst). Za izraèun produkta pomno¾imo ¹tevilo vseh skrèenih prstov z 10 in pri¹tejemo zmno¾ek dvignjenih prstov na eni in drugi roki. Torej:

Sledovi tega postopka so ¹e prisotni v Indiji, Iranu, Iraku, Siriji, Srbiji, Romuniji, Ukrajini, Franciji in severni Afriki. Postopek sam so v 15. stoletju opisali razlièni vplivni matematiki v Franciji in Perziji, recimo Francoz Nicolas Chuquet v knjigi Triparty en la science des Nombres ali „Trilogija o znanosti ¹tevil”.

Doka¾imo matematièno pravilnost postopka: x in y naj bosta zaèetni ¹tevili med 5 in 10. Na eni roki skrèimo toliko prstov, kot je prese¾ek x nad 5, na drugi pa kolikor je prese¾ek y nad 5. Skupaj imamo tako skrèenih

prstov. Na prvi roki imamo dvignjenih

na drugi pa

prstov. Pravilo nam svetuje izraèun

kar smo tudi ¾eleli.

Podoben postopek lahko uporabimo tudi za mno¾enje ¹tevil med 10 in 15. Za izraèun produkta 14 krat 13, skrèimo na eni roki toliko prstov, kot je prese¾ek 14 nad 10 (¹tiri), na drugi pa 13 nad 10 (tri). Rezultat dobimo po naslednjem vrstnem redu: najprej pomno¾imo celotno ¹tevilo skrèenih prstov z 10, pri¹tejemo zmno¾ek skrèenih prstov na obeh rokah in ¹e pri¹tejemo 100. Torej:

Tudi tokrat je dokaz pravilnosti postopka preprost:

Razdelan naèin ¹tetja na prste

Zanjo sta znana dva opisa (vzhodni in zahodni). Prvi je iz perzijskega slovarja Farhangi Jihangiri iz 16. stoletja, drugi pa iz knjige èastitega Bede: De Temporum Ratione ali „O deljenju èasa” iz 7. stoletja. Slednjega si bomo podrobneje ogledali, saj so bistvene razlike med obema le naslednje: vlogi leve in desne roke sta zamenjani, za spoznanje razlièni sta predstavitvi ¹tevila 80, za ¹tevila veèja od 10000 pa uporabljata opazno razliène znake. Zanimivo je spoznati dva tako podobna sistema iz dveh loèenih krajev sveta in nastalih v skoraj tisoèletni èasovni razdalji.

Razpredelnica 3 nam opi¹e ¹tetje v „zahodnem” sistemu. Bede je seveda s ¹tetjem nadaljeval do milijona, ki ga je prikazal s sklenjenima rokama s prekri¾animi prsti.

Pravkar opisan naèin ¹tetja na prste je bil zelo raz¹irjen tako na vzhodu kot na zahodu. Nanj namiguje veliko gr¹kih in latinskih avtorjev v svojih besedilih. Plutarh je na primer naslednje besede pripisal Orontu, pastorku perzijskega kralja Artakserksa: „Tako kot pri raèunanju, ko imajo prsti vèasih vrednost deset tisoè, vèasih pa samo ena, tako tudi ljubljenci kraljem vèasih pomenijo vse, vèasih pa niè.” Rimski satirik Juvenal pravi o Pilo¹kem kralju: „Sreèen Nestor, ki je sedaj, ko je presegel sto let starosti, zaèel ¹teti leta z desnico,” kar se sklada z na¹o razlago, saj so Rimljani uporabljali desno roko za stotice in tisoèice.

Eden od mnogih razlogov za veliko raz¹irjenost sistema ¹tetja na prste je v njegovi tajni, vèasih celo skrivnostni naravi. Èastiti Bede nam poka¾e primer, kako lahko naèin uporabimo za tajno sporoèanje. Èrkam abecede priredimo zaporedna ¹tevila, da lahko besedilo èrkujemo s prsti in v ti¹ini. Tako lahko opozorimo prijatelja na previdnost ob sreèanju z nevarnimi ljudmi.

V muslimanskih pokrajinah je bil tak naèin ¹tetja prav tako raz¹irjen kot v zahodnih de¾elah. Sledove tega najdemo tudi v poeziji, kjer so arabski in perzijski pesniki za prikaz skopu¹nosti nekoga veèkrat uporabili namig, da je z roko pokazal 93, saj je znak za to ¹tevilo stisnjena pest, ki je znan simbol za skopost. Pesnik Yahya Ibn Nawfal al-Yamani je v 7. stoletju napisal: „Devetdeset in ¹e tri, kot poka¾e skopuh s stisnjeno pestjo, pripravljeno na udarec, je veè vredno od tvojih darov, Yazid.” Pomen podobnih odlomkov je bil takratnim ljudem samoumeven, bralcem iz 20. stoletja, ki jim opisan naèin ¹tetja na prste ni domaè, pa verjetno precej èuda¹ki.

Literatura in viri

1. Georges Ifrah: From One to Zero, Penguin 1987.
2. Saint Bede the Venerable (http://www.stbedes.org/stbede.html)

Slika 2: ©tetje na prste iz ¹panskega kodeksa na pergamentu iz zaèetka 13. stoletja.
Hrani ga lizbonska javna knji¾nica.

Š Vladimirensa 1996. Zadnji popravek dne 6. februarja 1997.
Sestavek je napisan po standardu ISO-8859-2 ali Latin 2. Od zaèetka leta 1997 je do¾ivel ¾e obiskov.
Svoje predloge in mnenja mi lahko po¹ljete po elektronski po¹ti na naslov: Vladimir.Bensa@FMF.Uni-Lj.Si